¿La discretización del hamiltoniano usando diferencias finitas siempre está justificada?

Question

¿La discretización del hamiltoniano usando diferencias finitas siempre está justificada?

juego limpio

Tengo esta versión continua

H_{R} = \int d X ψ^{†} (X) (\frac{{pag}^{2}}{2} + V) ψ (X)

$H_{R}=\int dx\psi^{\dagger}(x)(\frac{p^{2}}{2}+V)\psi(x)$ con

V

$V$ como potencial constante.

¿Está siempre justificado pasar de esto a

\sum_{i} C_{i}^{†} [C_{i + 1} + C_{i - 1} - 2 C_{i}] + V \sum_{i} C_{i}^{†} C_{i}

$\sum_{i}c_{i}^{ \dagger }\left[c_{i+1}+c_{i-1}-2c_{i}\right] +V \sum_{i}c_{i}^{ \dagger }c_{i}$ usando la forma de diferencias finitas de la segunda derivada unidimensional? Ignorar el factor

- 1 / 2

$-1/2$ y suponga constante de red

a = 1

$a= 1$ y

ℏ = 1

$\hbar =1$ .

En realidad, estoy pensando si está justificado usar esto incluso cuando la derivada de la función propia es discontinua en algunos de los puntos del espacio real, como la barrera de la función delta. ¿Afectará eso a la segunda derivada de los operadores de campo?

higgsss

Sí, excepto que le falta un factor de -1/2 en la versión discreta. Observe que en su hamiltoniano discretizado, la constante de red se establece en

a = 1

$a=1$ , y en general, debe haber un factor adicional de

1 / a^{2}

$1/a^{2}$ . La versión continua se recupera tomando el límite

a \to 0

$a\rightarrow 0$ .

Miguel

para tu información puedes escribir

†

$\dagger$ : \ daga

juego limpio

@higgsss Sí, he agregado en la pregunta el factor

- 1 / 2

$-1/2$ y

a = 1

$a=1$ declaración. En realidad, me preguntaba si para los casos en los que la derivada de la función de onda es discontinua, eso afectará ese proceso de pasar de la versión continua a la discreta.

juego limpio

Agregué el potencial ahora para significar el contexto.

Respuestas (1)

¿La discretización del hamiltoniano usando diferencias finitas siempre está justificada?

Sí, excepto que le falta un factor de -1/2 en la versión discreta. Observe que en su hamiltoniano discretizado, la constante de red se establece en $a=1$ , y en general, debe haber un factor adicional de $1/a^{2}$ . La versión continua se recupera tomando el límite $a\rightarrow 0$ .
@higgsss Sí, he agregado en la pregunta el factor $-1/2$ y $a=1$ declaración. En realidad, me preguntaba si para los casos en los que la derivada de la función de onda es discontinua, eso afectará ese proceso de pasar de la versión continua a la discreta.

bebop pero inestable · Answer 1

[Respondí esto asumiendo que estabas hablando de aproximar un sistema de tipo de estado sólido, por lo que la respuesta es bastante particular. La cuestión de definir realmente un límite continuo de una teoría cuántica de campos no es trivial.]

La forma habitual de ir al límite del continuo es ir al espacio de Fourier. Como estás en una celosía, terminarás en una Zona Brillouin. Tomar el límite del continuo ahora es equivalente a hacer que la zona de Brillouin sea infinita, en lugar de periódica. Luego puede tomar una transformada de Fourier regular para obtener una teoría del espacio real continuo. Pasar del continuo a la red es el proceso inverso.

Esto, creo, deja en claro cuándo puedes hacer esta transformación. Puedes hacerlo si

1) Le preocupan los vectores de onda en una región de la BZ que no conoce el tamaño de la BZ. Esto incluye no solo la suposición ingenua de los vectores de onda pequeños, sino también decir que los fermiones cierran una superficie de Fermi más o menos grande. Y, por supuesto, toda perturbación externa debe acoplarse a esta pequeña región.

2) No le preocupa ningún proceso que conozca la periodicidad de la red. Así que no hay dispersión de Umklapp, ni anidamiento en la superficie de Fermi, etc. Ambos pueden ser muy importantes. Por ejemplo, su modelo de celosía en la celosía cuadrada a la mitad tiene vectores de anidamiento perfectos. Estos conducen a estados antiferromagnéticos que no tendrían equivalente en el modelo continuo (creo).

Otra forma de pensar en pt. (2) es que sus modelos continuo y de celosía tienen grupos de simetría completamente diferentes. Su modelo continuo tiene una traducción continua $\mathbb{R}^n$ mientras que el modelo de celosía tiene simetrías $\mathbb{Z}^n$ . Cada vez que cambie las simetrías, debe tener cuidado.

También tienen diferentes simetrías rotacionales. Veo en su modelo particular, también ha hecho una expansión particular de la relación de dispersión, tomando $E = p^2/2m - \mu$ en el continuo. Esto le da una superficie de Fermi esférica, mientras que el modelo de celosía puede tener una forma extremadamente asférica (como el modelo de medio relleno). En muchas cosas de la vida, esto está bien y solo conduce a discrepancias numéricas, pero en casos extremos, debe tener cuidado. Siempre puede cambiar la dispersión para que sea $E = v_F(p-p_F)$ dónde $v_F$ y $p_F$ depender del ángulo. También tenga cuidado de mantener o destruir accidentalmente simetrías rotacionales que no existen en el modelo de celosía. Por lo general, estos corresponden a operadores irrelevantes, pero de nuevo tenga cuidado, sea cauteloso.

¿La respuesta a la pregunta de función propia discontinua está implícita en su respuesta?

¿La discretización del hamiltoniano usando diferencias finitas siempre está justificada?

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higgsss

Miguel

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Respuestas (1)

bebop pero inestable

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