¿Por qué la representación vectorial del grupo de Lorentz O(3,1)O(3,1)O(3,1) es una suma directa de las representaciones de espín-0 y espín-1 del grupo de rotación SO(3)SO(3) )SO(3)?

Vector no va con la palabra representación. Creo que el vector al que te refieres es un vector de 4 en el "espacio portador" que$4 \times 4$Las matrices de Lorentz operan sobre. El$4 \times 4$las matrices son lo que se llama una "representación" del grupo de Lorentz. El$4 \times 4$representación es con la que está más familiarizado. Los elementos de la matriz de rotación ocupan$3 \times 3$y$1 \times 1$bloques en la diagonal. Por ejemplo, una representación de 4x4 de una rotación de grupo de Lorentz de un vector de 4 sobre el eje y es:

$$\text{Rot}_y(\theta)\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ t \\ \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ t \\ \end{bmatrix}$$ Observe que todas las rotaciones se transforman$(x,y,z)$como un vector de tres (= spin-$1$) y transformar$t$en sí mismo (es decir: como un vector = spin-$0$). Entonces el$4 \times 4$la representación del grupo de Lorentz es la suma directa de las representaciones de espín-1 y espín-0 del grupo de rotación$SO(3)$.