¿Por qué no construimos un espinor de giro 1/4?

Estoy aprendiendo teoría cuántica de campos. Entiendo que la solución de la ecuación de Dirac tiene cuatro estados y cada uno corresponde a un espinor. Estos cuatro estados son exactamente los estados propios del operador de espín y sus valores propios son +1/2 o -1/2. Pero parece que puedo construir otro operador (matriz), puede ser de 8 por 8 o algunas otras dimensiones. Los valores propios correspondientes de esta matriz pueden ser, por supuesto, 1/4, 1/2, 3/4, etc. Con estos estados propios también puedo construir una fórmula y convertir los estados propios en la solución de esta fórmula. Entonces puedo tener un giro de 1/4 de espinor. No entiendo por qué la ecuación de Dirac puede ser tan especial.

Hola ZHANG Juenjie, eliminé tus otras subpreguntas, cf. esta meta publicación.
¿Cuál es el significado físico del 1/4 de espinor?
@ Suzu Hirose Sin significado físico. Pero, ¿debería el giro tener un significado matemático? Quiero decir, ¿hay algo más profundo detrás de la ecuación de Dirac que obligue a la ecuación a verse así o esto es simplemente una conjetura con prueba y error?

Respuestas (1)

No hay tal cosa como girar 1 / 4 en el espacio-tiempo de 4 dimensiones.

Spin tiene que ver con las representaciones del álgebra de Lorentz Lie. Permítanme arrojar algo de luz sobre cómo se clasifican.

Primero, el álgebra de Lorentz de valor complejo s o ( 1 , 3 ) es equivalente a s o ( 4 ) . los s o ( 4 ) álgebra es igual a la suma directa de dos copias de s tu ( 2 ) , lo que significa que las representaciones irreductibles de s o ( 1 , 3 ) están etiquetados por pares ordenados de los irreducibles de s tu ( 2 ) .

los s tu ( 2 ) La teoría de la representación se puede encontrar en cualquier libro de texto sobre grupos de Lie o incluso en algunos libros de texto de QFT. Uno de los hechos cruciales es que los irreducibles de s tu ( 2 ) están etiquetados por semienteros no negativos llamados espines:

j = 0 , 1 / 2 , 1 , 3 / 2 , 2 , 5 / 2 , …

Esto es suficiente para empezar a construir irreducibles del álgebra de Lorentz. Los bloques básicos de la teoría de la representación son las dos representaciones fundamentales ( 1 / 2 , 0 ) y ( 0 , 1 / 2 ) que se denominan espinores de Weyl izquierdo y derecho respectivamente. Ambos son bidimensionales.

Los espinores de Dirac en realidad pertenecen a la representación reducible de 4 dimensiones

( 1 / 2 , 0 ) ⊕ ( 0 , 1 / 2 ) .

Otra representación de 4 dimensiones es el irreducible ( 1 / 2 , 1 / 2 ) a la que pertenecen los 4-vectores.

Como puede ver, todo esto es solo teoría de la representación y no hay giros. 1 / 4 representación en 4 dimensiones del espacio-tiempo.

Sin embargo, en 2 dimensiones del espacio-tiempo esto ya no es válido y existen representaciones con espines fraccionarios.

Parece que las claves son 1. SO(4) es equivalente a SU(2); 2. Los irreducibles de SU(2) están etiquetados con semienteros no negativos.
@ZHANGJuenjie más o menos, sí. Excepto por la parte "equivalente": s o ( 4 ) es equivalente a las dos copias de s tu ( 2 ) .
¿Qué quieres decir con "irreductible"? ¿Podría sugerir alguna referencia? Incluso si entiendo que el giro algebraico 1/4 no está permitido, todavía no puedo tener una idea intuitiva de cómo se relaciona esto con el giro. ¿Tiene alguna sugerencia o referencia?
@ZHANGJuenjie también probablemente no entiendas el significado de girar- 1 / 2 . Mira, esto es solo una convención. En cambio, podría llamar "giro" a lo que otros llaman "giro dividido por dos", lo que haría que los espinores de Dirac giraran. 1 / 4 en mi terminología. El hecho importante es que hay un conjunto discreto de irreps, y uno no puede lograr un espín más pequeño pero distinto de cero que el de los espinores de Dirac.
@Solenodon Paradoxus Justo sobre su última nota, ¿significa que suponiendo que el álgebra de Lorentz (¿o la invariancia?), el caso bidimensional del campo de Dirac se desvanece?
Si bien el espíritu de esta respuesta es correcto, debe tener cuidado al decir que las álgebras son "equivalentes". Lo que es cierto es que las representaciones de dimensión finita de s o ( 1 , 3 ) y s o ( 4 ) = s tu ( 2 ) ⊕ s tu ( 2 ) son lo mismo. Sin embargo, la teoría de representación unitaria infinitamente dimensional (necesaria para la clasificación de partículas siguiendo a Wigner) no es la misma, por lo que no son equivalentes para todos los propósitos físicos.
¿Por qué no construimos un espinor de giro 1/4?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v