¿Por qué la pendiente de la regresión padre-hijo es igual a la heredabilidad en sentido estricto?

Fondo

---- Notaciones y supuestos ----

dejar$W_{ij}$ser la aptitud asociada al genotipo$AiAj$.$x$es la frecuencia del alelo$A1$en la población La frecuencia del alelo.$A2$es$1-x$porque consideraremos solo el caso de un locus bialélico. Además, consideramos que solo un locus influye en la variable aleatoria$W$(la aptitud). Supondremos que el entorno no influye en la aptitud. También asumimos apareamiento aleatorio para usar el equilibrio de Hardy-Weinberg.

---- cálculos ----

La aptitud media es:

$$\bar W = x^2W_{11} + 2x(1-x)W_{12} + (1-x)^2W_{22}$$

La varianza de fitness es:

$$\sigma^2 = x^2(W_{11}-\bar W)^2 + 2x(1-x)(W_{12}-\bar W)^2 + (1-x)^2(W_{22}-\bar W)^2$$

Luego queremos calcular la covarianza entre padre e hijo con respecto a la aptitud.

Supongamos primero que el padre es$A_1A_1$Entonces el hijo será$A_1A_1$si la madre transmite una$A_1$gen para él, un evento con probabilidad x. Del mismo modo el hijo será$A_1A_2$con probabilidad$1-x$. El padre mismo será$A_1A_1$con probabilidad$x^2$. Continuando de esta manera, es posible elaborar una tabla de probabilidades de las diversas combinaciones padre-hijo en genotipo y, por lo tanto, aptitud.

Por lo tanto, suponiendo que no haya cambios en la frecuencia de$A1$entre las dos generaciones, la covarianza padre-hijo es:

$$cov = x^3W_{11}^2 + 2x^2(1-x)W_{11}W_{12} + x(1-x)W_{12}^2 + 2x(1-x)^2W_{12}W_{22} + (1-x)^3W_{22}^2-\bar W^2$$

que también es igual

$$cov = x(1-x)(xW_{11} + (1-2x)W_{12} - (1-x)W_{22})^2$$

La correlación entre las dos aptitudes se encuentra dividiendo la covarianza por la varianza (ya que la varianza de los hijos es la misma que la de los padres):

$$cor = \frac{x(1-x)(xW_{11} + (1-2x)W_{12} - (1-x)W_{22})^2}{\sigma ^2}$$

Luego definimos dominancia y varianza aditiva:

$$\sigma_D^2 = x^2(1-x)^2(2*W_{12} - W_{11} - W_{22})^2$$

$$\sigma_A^2 = 2x(1-x)(xW_{11}+(1-2x)W_{12} - (1-x)W_{22})^2$$

como

$$\sigma_D^2 + \sigma_A^2 = \sigma$$

Mi pregunta

La pendiente de una regresión padre-hijo es igual a la heredabilidad en sentido estricto$h^2_N$.

La heredabilidad en sentido estricto se define como$h_N^2 = \frac{\sigma_A^2}{\sigma}$(ver ¿ Por qué un coeficiente de heredabilidad no es un índice de qué tan “genético” es algo? ).

Definimos anteriormente que la correlación entre padres e hijos es$cor = \frac{cov}{\sigma}$. Así que esperaría que la pendiente de la regresión padres-hijos sea igual$cor = \frac{cov}{\sigma}$y no$h_N^2 = \frac{\sigma_A^2}{\sigma}$

¿Qué me estoy perdiendo? ¿Hay algún error en mis cálculos de fondo? ¿Hay algún error en la forma en que definí algunos conceptos? ¡La respuesta podría ser mucho más simple de lo que parece!