Teorema fundamental de la selección natural de Fisher

No creo que necesite mirar más allá de la ecuación de Price , que es básicamente una prueba de una versión generalizada del teorema fundamental de Fisher. Price tuvo una serie de artículos en los años 70 que derivaron y aplicaron la ecuación de Price (p. ej., Price, 1970 ; Price, 1972a ), pero el más relevante para su pregunta probablemente sea Price (1972b) .

Un buen resumen del legado de Price se puede encontrar en Frank (1995) .

Aquí hay un artículo con una bibliografía histórica de análisis matemáticos en la introducción .

Como puede ver cuando exige un tratamiento matemático de algo tan poco entendido como la herencia genética de los rasgos, la palabra prueba debe usarse de manera calificada. En este caso, una aptitud multilocus con variación en la población sin vinculación entre los alelos. Probablemente sea un caso que aparece con bastante frecuencia, pero ¿de cuántos alelos estamos hablando? Con un gran número de alelos que se revuelven aleatoriamente en cada generación (vinculación cero), me imagino que el número de individuos que contienen mucha diversidad.

La mayoría de los estudios de GWAS muestran que muchas variantes menos probables pueden contribuir a muchos rasgos genéticos (como altura, diabetes, etc.). Así que este es un número bastante razonable de los casos.

Sin embargo, el teorema fundamental es cierto para cualquier cantidad de variantes involucradas, así que espero que esto ayude.

La siguiente respuesta no está completa y solo brinda una comprensión intuitiva del teorema fundamental de la selección natural de Fisher. Se puede encontrar un mejor desarrollo en el libro de Ewen.

Primero definamos qué es la Varianza Genética Aditiva

Considere un carácter cuantitativo que está completamente determinado por un lugar geométrico$A$cuales dos alelos son$A_1$y$A_2$. la medida$m$de este carácter cuantitativo para un individuo viene dado por sus genotipos de manera que los genotipos$A_1A_1$,$A_1A_2$y$A_2A_2$tener medidas$m_{11}$,$m_{12}$y$m_{22}$respectivamente. Suponga que se obtiene el apareamiento aleatorio con respecto a este carácter y que las frecuencias de$A_1A_1$,$A_1A_2$y$A_2A_2$son$x^2$,$2x(1-x)$y$(1-x)^2$, respectivamente. Entonces, el valor medio$\bar m$de esta medida es

$$\bar m = x^2m_{11} + 2x(1-x)m_{12} + (1-x)^2m_{22}$$

y la varianza en la medida es

$$\sigma ^2 = x^2(m_{11} - \bar m) + 2x(1-x) (m_{12} - \bar m) + (1-x)^2 (m_{22} - \bar m)$$

La covarianza entre los padres y los hijos (suponiendo que no haya cambios en la frecuencia alélica) es

$$x(1-x)\left(xm_{11} + (1-2x)m_{12} - (1-x)m_{22}\right)^2$$

La correlación entre los padres y los hijos se encuentra dividiendo la covarianza por la varianza (dado que la varianza de los padres es igual a la varianza de los hijos) es

$$\frac{x(1-x)\left(xm_{11} + (1-2x)m_{12} - (1-x)m_{22}\right)^2}{\sigma ^2}$$

que se puede descomponer en dominancia y varianza aditiva

$$\sigma _A ^2 = 2x(1-x) (xm_{11} + (1-2x)m_{12} - (1-x)m_{22})^2$$ $$\sigma _D ^2 = x^2(1-x)^2 (2xm_{12} - m_{11} - m_{22})^2$$

Reemplazando la medida por la aptitud, se obtiene la variación genética aditiva en la aptitud.

$$\sigma _A ^2 = 2x(1-x) (xw_{11} + (1-2x)w_{12} - (1-x)w_{22})^2$$ $$\sigma _D ^2 = x^2(1-x)^2 (2xw_{12} - w_{11} - w_{22})^2$$

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Ahora, la aptitud media en la población está dada por (como ya se dijo)

$$\bar w = x^2w_{11} + 2x(1-x)w_{12} + (1-x)^2w_{22}$$

Usando la ecuación de Wright-Fisher, el cambio en la aptitud media es

$$\Delta \bar w = 2x(1-x) (xw_{11} + (1-2x)w_{12} - (1-x)w_{22})^2 \cdot (w_{11}x^2 + (w_{12} + \frac{w_{11} + w_{22}}{2})x(1-x) + w_{22}(1-x)^2)\bar w ^{-2}$$

que se puede aproximar

$$\Delta \bar w ≈ 2x(1-x) (xw_{11} + (1-2x)w_{12} - (1-x)w_{22})^2 = \sigma _A ^2$$

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Referencia

Hay un tratamiento interesante de este teorema en el Journal of Mathematical Biology (finales de 2017), que supuestamente explica las mutaciones en curso en la población (no explicadas en el original de Fisher).

https://link.springer.com/article/10.1007/s00285-017-1190-x

Muestran cómo sus modificaciones producen los mismos resultados que el original de Fisher cuando se supone que las mutaciones en curso no existen. También muestran algunos resultados de simulaciones basadas en diferentes distribuciones mutacionales en curso. Discuten qué distribución es la más razonable según la observación.

Aunque este es un tratamiento matemático, creo que la confiabilidad del teorema estaría ligada en última instancia a la evidencia empírica, como insinué anteriormente.