Aproximación de difusión a la deriva genética

Efectivamente, procede del modelo de Wright-Fisher, concretamente de su aproximación al proceso de difusión.

Si la población es de tamaño$N$, entonces en la generación$t$el numero de alelos es$A(t)$, por lo que la frecuencia de los alelos es$x(t) = A(t)/(2N)$, asumiendo el caso diploide. Entonces Wright-Fisher dice que:

$$A(t+1)\mid A(t) \sim \text{Bin}(2N,x(t))$$ Entonces, la distribución del conteo de la próxima generación, dada la última, se distribuye binomialmente (bajo apareamiento aleatorio). Se puede encontrar que, para una variable aleatoria binomialmente distribuida$b\sim \text{Bin}(m,p)$, la media y la varianza están dadas por : $$\mathbb{E}[b]=mp\;\;\;\;\;\;\&\;\;\;\;\;\;\mathbb{V}[b]=mp(1-p)$$ Así, conseguimos que $$\mathbb{E}[A(t+1)\mid A(t)] = 2N x(t) \;\;\;\;\;\;\&\;\;\;\;\;\; \mathbb{V}[A(t+1)\mid A(t)] = 2N x(t)[1-x(t)]$$ Aplicar$x(t)=A(t)/(2N)$, vemos eso $$\begin{align} \mathbb{E}[x(t+1) \mid x(t)] &= \frac{1}{2N}\mathbb{E}[A(t+1)\mid A(t)]= x(t) \\ \mathbb{V}[x(t+1)\mid x(t)] &= \frac{1}{(2N)^2}\mathbb{V}[A(t+1)\mid A(t)] = \frac{x(t)[1-x(t)]}{2N} \end{align}$$ usando el hecho de que$\mathbb{V}[cX]=c^2\mathbb{V}[X]$.

Podemos relacionar esto con el delantero Kolmogorov de la siguiente manera. Recuerde que la distribución binomial se puede aproximar mediante una distribución normal , con media$\mu$y varianza$\sigma^2$dada por la media y la varianza de la binomial. Esto nos dice que:

$$x(t+\delta t)\mid x(t) \sim \mathcal{N}(x(t),(\delta t)x(t)[1-x(t)]/(2N))$$ Las propiedades de la distribución normal implican entonces que $$\Delta x_t=x(t+\delta t) - x(t)\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2(x_t)\delta t)$$ donde$\sigma^2(x_t) = x(t)[1-x(t)]/(2N)$. Esto implica la siguiente igualdad (en distribución): $$\Delta x_t = \sigma(x_t)\Delta W_t$$ donde$\Delta W_t\sim \mathcal{N}(0,\delta t)$. Como$\delta t\rightarrow 0$, obtenemos una ecuación diferencial estocástica , $$dx_t = \sigma(x_t)dW_t$$ donde las soluciones son procesos aleatorios de Markov (a diferencia de, por ejemplo, ODE donde solo hay una solución y es un camino determinista; piense en ello como una ODE ruidosa), específicamente en este caso una difusión de Ito . Tenga en cuenta que el SDE no tiene$dt$componente ya que la media del incremento era$0$. Si consideramos la función de densidad para el proceso aleatorio $p(x,t)$, debe satisfacer la ecuación de Fokker-Planck (Forward Kolmogorov) : $$\partial_t p(x,t) = -\partial_{xx}[p(x,t)\sigma^2(x)/2]$$ lo que da una distribución de probabilidad sobre el valor de frecuencia alélica en cada punto de tiempo (dado un valor inicial que no he especificado aquí). Tenga en cuenta que$V(x)=\sigma^2(x)$.

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En términos de intuición, no estoy muy seguro. Esencialmente$V(x)$mide cuánta perturbación en la frecuencia alélica se puede esperar que suceda en cada generación debido a efectos puramente aleatorios, es decir, deriva genética. Observe que no hay perturbación cuando$x=0$o$x=1$, es decir, no pueden ocurrir cambios aleatorios si nadie o todos tienen el alelo. Observe también que esta varianza es exactamente la varianza de una distribución de Bernoulli . Es como si hubiéramos destilado el modelo de nivel individual a un modelo de nivel de población que simplemente observa la frecuencia de la elección binaria de la presencia de alelos, supongo. La varianza (ruido) es máxima cuando la frecuencia es$1/2$. Es una especie de alejar el alelo del medio, aumentando el ruido cuando uno va allí; uno podría esperar que (si se ejecuta el tiempo suficiente) cualquier modelo de este tipo golpeará y se atascará en$0$o$1$(No estoy seguro si esto es cierto). Busqué un poco si había otras interpretaciones interesantes del sde consideradas aquí (por ejemplo, en física), pero no pude encontrar ninguna. Básicamente, sería equivalente a una ecuación de calor, extendiéndose bajo alguna función potencial controlada por$\sigma$.

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Tu pregunta está estrechamente relacionada con esta . Mi respuesta sigue en gran medida a Tataru et al, Inferencia estadística en el modelo de Wright-Fisher utilizando datos de frecuencia de alelos .