Fácil derivación de la aproximación de Kimura para la probabilidad de fijación de una mutación

Presumiblemente, ha resuelto esto, pero, en caso de que no, es porque la PDE es una ecuación inversa de Kolmogorov , por lo que los coeficientes de primer y segundo orden son la media y la varianza del proceso estocástico subyacente que se está modelando.

En detalle, considere una ecuación diferencial estocástica (que tiene una solución dada por un proceso de difusión de Ito):

$$dp_t = \mu(p_t,t) dt + \sigma(p_t,t) dW_t$$ entonces el siguiente sistema se cumple (bajo algunas condiciones): $$-\frac{\partial}{\partial t} u(p,t) = \mu(p,t)\frac{\partial}{\partial p}u(p,t) + \frac{1}{2}\sigma^2(p,t)\frac{\partial^2}{\partial p^2} u(p,t)$$ donde$u$es la densidad de$p$a$t$.

Tenga en cuenta que la deriva (media infinitesimal)$M=\mu(p,t)$y coeficiente de difusión (varianza infinitesimal)$V=\sigma^2(p,t)$son como en el documento (excepto por el signo negativo, que supongo que es ignorable ya que en su mayoría parece preocuparse solo por el caso cuando$\partial_t u\approx 0$de todos modos). De hecho, se escriben de manera equivalente:

$$\begin{align} \mu(p,t) &= \lim_{\delta t\rightarrow 0}\frac{1}{\delta t} \mathbb{E}\left[ p_{t + \delta t} - p_t \mid p_t=p \right] =: M \\ \sigma^2(p,t) &= \lim_{\delta t\rightarrow 0}\frac{1}{\delta t} \mathbb{E}\left[ (p_{t + \delta t} - p_t)^2 \mid p_t=p \right] =: V \\ \end{align}$$ como escribe Kimura.

Tenga en cuenta que una aproximación útil de la densidad de transición viene dada por:

$$\mathbb{P}[p_{t+\delta t} \mid p_t] \approx \mathcal{N}(p_{t+\delta t}\mid p_t + \mu(p_t,t)\,\delta t, \sigma^2(p_t,t) \,\delta t) \tag{TD}$$

Ok, entonces todo lo anterior es solo teoría básica de procesos estocásticos. Por lo tanto, si tenemos un modelo estocástico para la dinámica de la población, podemos derivar valores para$M$y$V$a partir de él (calculando sus momentos), y esos se trasladarán a la ecuación inversa de Kolmogorov, sobre la cual se basa el trabajo de Kimura.

Aquí es donde se muestra mi ignorancia sobre la dinámica de la población. Sin embargo, dado que Kimura menciona a Fisher y Wright, busqué el modelo de Wright-Fisher. Parece que Kimura está utilizando la aproximación del proceso de difusión del modelo de Wright-Fisher. Este parece ser un modelo bien estudiado y con historia que no puedo describir completamente aquí; en cambio, encontré que el trabajo de Tataru et al, Statistical Inference in the Wright-Fisher Model Using Allele Frequency Data es una excelente descripción del mismo, aunque no pretendo entender mucho de él.

Sin embargo, lo importante es que el cambio en los genes (densidad de transición) puede describirse mediante una distribución binomial. Esto se puede aproximar mediante una distribución normal:

$$\mathbb{P}[p_{t+\delta t} \mid p_t] \approx \mathcal{N}(p_{t+\delta t}\mid p_t + a(p_t) \delta t,\, p_t (1-p_t) \delta t )$$ utilizando la aproximación estándar a la binomial. Esto nos da una ecuación de Kolomogorov hacia adelante (no hacia atrás) escrita : $$\frac{\partial}{\partial t} u = - \frac{\partial}{\partial p}\left[a(p_t) u(p_t) \right] + \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial p^2} \left[ p_t(1-p_t)u(p_t) \right]$$ Esto básicamente implica que$V=p(1-p)$.

(Noté que otra forma de probar esto es notar que la difusión aproximada de Wright-Fisher (sin ninguna selección, etc.... así que$a\equiv 0$) tiene un generador infinitesimal dado por:$\mathfrak{G} f(p) = p(1-p)\partial_{tt} f(p) / 2$. Esto implica inmediatamente$V=p(1-p)$. Pero puede ser menos sencillo de entender. )

Sin embargo, de manera confusa, el documento ha cambiado las escalas de tiempo (variables), de modo que$\delta t \leftarrow \Delta t / (2N)$, y luego establecer$\delta t$a$1$(probablemente para que no tuvieran que escribir$2N$En todas partes). Si deshacemos esta transformación, obtenemos

$$\mathbb{P}[p_{t+\delta t} \mid p_t] \approx \mathcal{N}(p_{t+\delta t}\mid p_t + a(p_t) \delta t,\, p_t (1-p_t) \delta t/(2N) )$$ Si compara esto con nuestra densidad de transición aproximada anterior (ecuación (TD)), verá que esto implica: $$\sigma^2 = V = p(1-p)/[2N]$$ como se desee.

Ahora bien, ¿cuál es la media infinitesimal, es decir,$a$o$M$? Claramente esto depende del modelo de selección, ya que controla cómo el "entorno" afecta de manera determinista al proceso. Kimura describe esto como una "ventaja de selección constante" con coeficiente$s$. El artículo de Tataru señala que la aproximación de difusión a Wright-Fisher bajo deriva genética, mutación y selección está dada por:

$$a(p) = -\nu p + \xi(1-p) + 2N\tau p(1-p)[h-(1-2h)p]$$ Si (1) ignoramos la mutación estableciendo$\nu=\xi=0$, (2) eliminan los efectos de dominancia alélica estableciendo$h=1/2$, y (3) definir$s:= N\tau$, obtenemos: $$a(p) = s p(1-p) =: M$$ que por supuesto vemos al señalar$M=a(p)$partidos$\mu$en la ecuación (TD) anterior. (Tenga en cuenta que el$2N$La transformación también ocurrió aquí, pero estaba oculta dentro.$s$).

Por lo tanto, hemos derivado donde Kimura's$M$y$V$provienen, aunque probablemente no de la manera más simple posible.

Todo lo que queda es derivar la ecuación (de estado estacionario) para$u$. Supongo que lo haré para completar.

Ignorando los subíndices de estado estacionario, obtenemos:

$$\begin{align} G(x) &= \exp\left( -\int \frac{2M}{V} dx \right) = \exp\left( -\int 4sN dx \right) = \exp\left( -4sNx\right) \\[0.15cm] u(p) &= \frac{\displaystyle \int_0^p G(x) dx}{\displaystyle \int_0^1 G(x) dx} = \frac{\displaystyle \frac{1}{4Ns}\left[ \exp\left( -4sNx\right) \right]_0^p}{\displaystyle \frac{1}{4Ns}\left[ \exp\left( -4sNx\right) \right]_0^1} = \frac{\displaystyle -\left[ \exp\left( -4sNp\right) - 1 \right]}{\displaystyle -\left[ \exp\left( -4sN\right) -1 \right]} \\ &= \frac{1 - \exp(-4Nsp)}{1 - \exp(-4Ns)} \end{align}$$ según sea necesario.

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Disculpas por cualquier error. (No soy un modelador de dinámica de población ni un matemático, así que por favor señale cualquier problema).