¿Por qué la mecánica cuántica es reversible?

Entonces, incluso antes de la universidad, los estudiantes aprendemos que existe esta maravillosa forma alternativa de ver muchos problemas físicos en términos de energías . Pero, parecen perder algo de información sobre el problema. Como, la energía cinética pierde información direccional. Cuando llegamos a la universidad, nos enteramos de que dos personas en realidad tienen formalismos que llevan su nombre, el formalismo lagrangiano de Joseph-Louis Lagrange y el formalismo hamiltoniano de William Rowan Hamilton, que utilizan estas energías para describir el mundo. para que puedasusa energías para comprender el mundo, ¡si solo rastreas la información de otra manera! Entonces, por ejemplo, en la mecánica hamiltoniana, el sistema ocupa un punto en el "espacio de fase" donde todos los componentes de posición y momento de las partículas se especifican con bastante precisión, pero la función de energía total, el hamiltoniano, le dice al punto cómo moverse a través del espacio de fase durante tiempo. Toda esa información se vuelve a agregar en otra parte por esta invención del espacio de fase.

Parece ser una propiedad de estos formalismos que no funcionan bien con procesos irreversibles como la pérdida de energía. Son teorías "reversibles" de la mecánica clásica, lo que significa que si describe la mecánica clásica con ellas, si invirtiera todos los impulsos en el problema, todo parecería moverse hacia atrás en el tiempo. Cuando digo “no lo hago bien”, por favor no me entiendan diciendo “imposible”, solo quiero decir “no un ciudadano de primera clase”. Para modelar algo en contacto con un sistema mantenido a temperatura constante, por ejemplo, necesita un modelo de espacio de fase de ese otro sistema, digamos un grupo de osciladores armónicos con fases aleatorias y diversas frecuencias, cada uno con una cantidad promedio de energía dada por esa temperatura Luego debe hacer aproximaciones y promediar los estados de los osciladores, sacar esta irreversibilidad del tiempo y la pérdida de información de una descripción donde la información, por su naturaleza, nunca se puede perder. (No quiero decir que este sea un detalle físico de la información, sino un detalle matemático de su codificación en el enfoque. La información es una coordenada posicional en el espacio de fase, ¿cómo se pierde unacoordinar ? ¿El espacio cambia de dimensionalidad ? Así que tengo que tirar la información yo mismo porque la teoría no lo hará).

No hemos logrado construir la mecánica cuántica con el viejo enfoque de las fuerzas, donde la información estaba implícita por lo que la irreversibilidad era fácil de modelar. Permítanme darles una descripción general rápida de la construcción hamiltoniana, la mecánica cuántica clásica: una forma de ver el mundo donde representamos el mundo con matrices ^[1] en lugar de números. La multiplicación de matrices tiene la peculiaridad de que$AB\ne BA$en general, por lo que el orden de la multiplicación suele importar: usamos esto para entender cosas como el principio de incertidumbre de Heisenberg y similares. El principio general es que

• el estado del mundo es un vector columna complejo ^[2] que llamamos$|\psi\rangle$
• corresponde a un vector fila complejo conjugado que llamamos$\langle \psi|$
• predecimos solo promedios de medidas, y las predecimos asociando a esa cantidad medible alguna matriz$M$
• lo que realmente observamos en nuestros experimentos, los "quanta" o números enteros misteriosos, son algunos números discretos que caracterizan la matriz llamada sus valores propios
• y el promedio que predecimos para esta medida$\langle M \rangle$en el estado$|\psi\rangle$entonces viene dada por la multiplicación de matrices, $$\langle M \rangle = \langle \psi|M|\psi \rangle.$$

Esta última operación deja una matriz de 1x1 en el lado derecho que simplemente interpretamos como un número. Para garantizar que es un número real, debemos restringir$M$ser un tipo especial de matriz: debe ser igual a su "adjunto", que es su matriz-transpuesta con todos los elementos complejos-conjugados. Llamamos a estas matrices matrices "hermitianas", y el punto clave es que hacen desaparecer todos los números imaginarios malos para todas nuestras predicciones sobre promedios, lo cual es bueno porque la mayoría de los números con los que tratamos en este mundo no son complejos. números.

Entonces, una cosa realmente buena de este formalismo es que estos valores propios vienen con estados propios correspondientes , que es un estado en el que no hay absolutamente ninguna incertidumbre, el sistema tiene exactamente tal y tal valor medido. Por lo tanto, podría entender un vector dado tanto por sus componentes según el operador de momento como por el operador de posición, y cualquier conjunto de componentes de estado propio podría usarse para reconstruir el mismo vector.

La pregunta clave que ha hecho es, ¿qué sucede con el tiempo? La respuesta es que estamos siguiendo la ecuación de Einstein-Planck, que la energía de un fotón es proporcional a su frecuencia$f$por alguna constante$\hbar$como:

$$E = 2\pi~\hbar~f.$$ Y lo hacemos de la forma que prescribe el formalismo, la energía total viene dada por una matriz hermitiana que llamamos$H$, por el "Hamiltoniano" del sistema. Esto tiene un montón de valores propios$E_n$con estados propios$|n\rangle$. Y construimos su estado físico a partir de estos estados propios, $$|\psi\rangle=\sum_{n=0}^{\infty} \psi_n |n\rangle$$ y finalmente los enviamos rotando alrededor del espacio de los números complejos con la frecuencia dada, $$|n\rangle\mapsto e^{-iE_nt/\hbar} |n\rangle.$$ Una vez que describimos la función exponencial matricial$\exp$podemos ver que esto equivale a decir que $$|\psi(t)\rangle= \exp\left({-i~H~t\over\hbar}\right) |\psi_0\rangle$$ que también se puede describir a través de la famosa ecuación de Schrödinger, $$i\hbar \frac{\mathrm d\vphantom{t}}{\mathrm d t}|\psi(t)\rangle=H|\psi(t)\rangle.$$ Lo que queremos decir cuando decimos que la física es completamente reversible es que la expresión anterior para$|\psi(t + \delta t)\rangle$no pierde ninguna información: no puede producir el mismo resultado dadas dos entradas diferentes$|\psi(t)\rangle$términos. Siempre hay un hamiltoniano diferente, generalmente$H\mapsto -H$, que deshará cualquier evolución temporal que hayas hecho originalmente. El término “unitario” en particular se refiere a este operador$\exp\left({-i~H~t\over\hbar}\right)$que no solo es invertible, sino que su inversa también es su transpuesta conjugada.

Hay un aspecto que no es "unitario" como este, y es el proceso no bien entendido por el cual en realidad no vemos los promedios sino los valores propios, lo que a veces se denomina "colapso de la función de onda" o simplemente el "problema de medición". ”, y, por ejemplo, la interpretación de muchos mundos para la mecánica cuántica es muy rigurosa al tratar de hacer que todo sea unitario, incluido este proceso de medición, inventando estos otros “mundos” para contener la información perdida.

También hay una ligera elaboración del formalismo anterior que representa mejor la pérdida de información, y esto se denomina formalismo de matriz de estado o "matrices de densidad" más o menos, en lugar de$\langle \psi|M|\psi\rangle$tienes$\operatorname{Tr}(\rho~M)$y en lugar de la ecuación de Schrödinger tienes la ecuación de Lindblad,

$$i\hbar \frac{\partial \rho}{\partial t} = H\rho-\rho H +\sum_{k=1}^N \left( A_k \rho A_k^\dagger -\frac12 A_k^\dagger A_k \rho - \frac12 \rho A_k^\dagger A_k \right)$$ que se reduce a la ecuación de Schrödinger si estos fuera de término$A_k=0$, y que puede interpretarse como una medida continua (la operación no unitaria anterior) aplicada a un sistema más grande que luego se ignora. Entonces esta es una mecánica cuántica que ya no tiene esa dinámica reversible unitaria.

1. Técnicamente, las "matrices" de las que hablo suelen ser operadores diferenciales con propiedades similares a las matrices; a veces son de dimensión infinita.
2. Nuevamente, si la "matriz" es un operador diferencial, entonces el "vector" es una función.