Estado fundamental de los hamiltonianos padres locales e invariancia bajo unitarios locales

Question

Estado fundamental de los hamiltonianos padres locales e invariancia bajo unitarios locales

Luis

Suponga que un estado puro de dimensión finita $|\psi\rangle\in \mathcal{H}\simeq \mathbb{C}^m$ , $m<\infty$ , es el (único) estado fundamental libre de frustración de un padre local hamiltoniano y supongamos que la noción de localidad se da en términos de un conjunto conectado de vecindades $\{\mathcal{N}_k\}$ . Mi pregunta es la siguiente: ¿Es cierto que cualquier unidad $U$ satisfactorio

tu | ψ ⟩ ⟨ ψ | {tu}^{†} = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$U|\psi\rangle\langle \psi|U^\dagger=|\psi\rangle\langle \psi|$ se puede descomponer en un producto finito de unidades unitarias que satisfacen la invariancia que actúan solo en los vecindarios

{N_{k}}

$\{\mathcal{N}_k\}$ , eso es

U

$U$ Se puede escribir como

U = \prod_{i = 1}^{N} U_{N_{k_{i}}}

$U=\prod_{i=1}^N U_{\mathcal{N}_{k_i}}$ , donde cada

U_{N_{k_{i}}}

$U_{\mathcal{N}_{k_i}}$ actúa sólo en el vecindario

N_{k_{i}}

$\mathcal{N}_{k_i}$ y es tal que

U_{N_{k_{i}}} | ψ ⟩ ⟨ ψ | U_{N_{k_{i}}}^{†} = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$U_{\mathcal{N}_{k_i}}|\psi\rangle\langle \psi|U_{\mathcal{N}_{k_i}}^\dagger=|\psi\rangle\langle \psi|$ ?

Cualquier respuesta/comentario/referencia (parcial) es muy bienvenida.

Gracias de antemano.

david z

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Respuestas (3)

Estado fundamental de los hamiltonianos padres locales e invariancia bajo unitarios locales

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ruben verresen · Answer 1

¿ No es la simetría de traslación simple un ejemplo?

Por ejemplo, suponga que tiene un anillo unidimensional de $L$ giros descritos por $|\psi\rangle = \sum_{\{\sigma_i\}} \psi_{\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_L} \; |\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_N\rangle$ . Entonces esta función de onda podría ser invariante bajo la transformación unitaria $\psi_{\sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_{L-1},\sigma_L} \to \psi_{\sigma_2,\sigma_3,\cdots,\sigma_L,\sigma_1}$ . Sin embargo, claramente no puede hacer esto localmente, a menos que no entienda bien su caracterización.

Un contraejemplo aún más visceral sería la simetría de inversión (espacial) .

Joel Klassen · Answer 2

Considere el hamiltoniano de código tórico situado en una geometría esférica. Esto tiene un estado fundamental único. Expande la esfera a un radio infinito. Considere la excitación de una cuerda del estado fundamental y haga un bucle con la cuerda alrededor de la esfera (un número infinito de operaciones locales) de modo que se encuentre consigo misma, devolviendo nuestro sistema a su estado fundamental. Sabemos por analogía con los estados fundamentales topológicamente protegidos del código tórico en una geometría toroidal infinita que tal evolución no es posible con un número finito de operaciones locales. Así hemos descrito una evolución unitaria del sistema, con el estado fundamental como estado propio, que no puede expresarse como una descomposición finita de operaciones locales.

Dicho esto, es posible que solo esté haciendo trampa por la forma en que tomo el límite termodinámico, y es posible que deba aclarar tales consideraciones en su pregunta.

Esto es correcto. Sin embargo, olvidé escribir en el OP que estoy trabajando en un espacio de Hilbert de dimensión finita (¡mi culpa, lo siento!). Edité el OP en consecuencia.
No se preocupe, fue útil para mí formular esta respuesta de todos modos.
Esto es una completa trampa. Si desea descomponer una operación en un sistema infinito en un producto de operaciones locales, está claro que debe solicitar un número infinito de ellas. Esto no tiene nada que ver con el código tórico, lo mismo funciona para un estado de producto.
Tienes razón Norberto. De alguna manera pensé que estaba en el camino correcto, pero debería haber pensado en esto con más cuidado.

udv · Answer 3

udv

Aquí hay una idea:

Decir $U|\psi\rangle = |\psi\rangle$ para $UU^\dagger = U^\dagger U = I$ .

Entonces, si consideramos la forma exponencial $U = \exp(iG)$ con $G = G^\dagger$ como siempre, $|\psi\rangle$ necesariamente debe estar en el núcleo de $G$ , $G|\psi\rangle = 0$ .

Por otro lado, tener $U$ de la forma del producto $U = \prod_k{U_{{\mathcal N}_k} }$ para barrios separados entre sí es equivalente a $G = \sum_k{G_{{\mathcal N}_k}}$ con $[G_{{\mathcal N}_j}, G_{{\mathcal N}_k}] = 0$ para cualquier ${\mathcal N}_j$ , ${\mathcal N}_k$ involucrado.

Pero obviamente no todos $G$ eso tiene $|\psi\rangle$ en su núcleo son de esta forma descomponible. entonces no todos $U$ tal que $U|\psi\rangle = |\psi\rangle$ puede ser del tipo de producto $U = \prod_k{U_{{\mathcal N}_k} }$ .

XXDD

@Jacquard Creo que su pregunta está relacionada con el problema de la estructura geométrica de los estados cuánticos. Para una matriz de densidad general

ρ = U_{0} σ U_{0}^{+}

$\rho=U_{0}\sigma U_{0}^{+}$ , se puede comprobar fácilmente que el

U

$U$ mantiene

ρ

$\rho$ invariante está dada por

U_{0} g U_{0}^{+}

$U_{0}gU_{0}^{+}$ , con

g σ = σ g

$g\sigma=\sigma g$ . Esto es muy similar a la Fibración Hopf Generalizada de estado mixto propuesta por Montgomery en "Heisenberg and Isoholonomic Inequalities" y un trabajo similar más adelante en "DYNAMIC DISTANCE MEASURES ON SPACES OF ISOSPECTRAL MIXED QUANTUM STATES".

XXDD

Así que no hay garantía de que el

U

$U$ es algo 'local', realmente depende de la matriz de densidad del sistema

ρ

$\rho$ . Para su pregunta sobre solo estados puros,

g

$g$ se puede descomponer en un producto como

g = U (1) \otimes U (N - 1)

$g=U(1)\otimes U(N-1)$ , pero teniendo en cuenta

U = U_{0} g U_{0}^{+}

$U=U_{0}gU_{0}^{+}$ , todavía no es 'local'.

XXDD

Lo siento, olvidé mencionar eso.

g

$g$ debe ser unitario.

Luis

Gracias por la respuesta. ¿Está considerando topologías de vecindad disjuntas? Si no, ¿por qué te descompones?

U

$U$ como producto de unitarios locales actuando sobre barrios disjuntos?

XXDD

No. Ya que tenemos

U = U_{0} g U_{0}^{+}

$U=U_{0}gU_{0}^{+}$ que puede mantener el estado del sistema invariable pero no

g

$g$ , aun asi

g

$g$ puede descomponerse en una forma como producto de operaciones disjuntas,

U

$U$ no es un producto de los operadores locales.

Luis

@X.Dong: mi comentario estaba relacionado con la respuesta de udrv. De todos modos, sus comentarios se refieren a matrices de densidad general, en mi caso tengo la restricción de que estos son estados fundamentales de hamiltonianos principales con una topología de vecindad prescrita.

XXDD

@Jacquard Como mencioné, el caso de estado puro es solo un caso especial aquí, donde

U = U_{0} (U (1) \otimes U (N - 1)) U_{0}^{+}

$U=U_{0}(U(1)\otimes U(N-1))U_{0}^{+}$ . Entonces, aún para estados puros, no puede lograr su objetivo de descomponerse

U

$U$ como producto de operadores locales.

Luis

@X.Dong: Está bien, si entendí bien,

U_{0}

$U_0$ puede destruir la localidad de la descomposición. Pero si el estado puro

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ es el estado fundamental de un padre hamiltoniano, estamos restringiendo el conjunto de estados puros que estamos considerando. ¿Cómo podemos estar seguros de que

U_{0}

$U_0$ en este caso no exhibe alguna estructura especial que preserva la localidad?

XXDD

Realmente depende de cómo definas el radio de 'vecindario'. Como se ve incluso

U_{0}

$U_{0}$ es especial,

g = U (1) \otimes U (N - 1)

$g=U(1)\otimes U(N-1)$ puede cumplir con el requisito y

U_{0}

$U_{0}$ es especial para mantener la estructura del producto, podemos decir que

U (N - 1)

$U(N-1)$ es 'local'? De todos modos, realmente depende de

ρ

$\rho$ , por lo que no hay una conclusión general y tenemos que dar una respuesta específica para cada uno diferente

ρ

$\rho$ (o

U_{0}

$U_{0}$ ).

Luis

@X.Dong: Sí, estoy de acuerdo contigo en que el problema depende en gran medida del estado.

ρ

$\rho$ y sobre la estructura vecinal. Es por eso que estoy buscando un contraejemplo.

XXDD

En cuanto a los contraejemplos, creo que 2 qubit Bell state

00 + 11

$00+11$ con

σ = D i a g (1, 0, 0, 0)

$\sigma=Diag(1,0,0,0)$ y

U_{0} = [1, 0, 0, 1; 1, 0, 0, - 1; 0, 1, 0, 0; 0, 0, 1, 0]

$U_{0}=[1,0,0,1; 1,0,0,-1; 0, 1, 0, 0;0,0,1,0]$ . Entonces vemos

U = U_{0} * (U (1) \otimes U (3)) * U_{0}^{+}

$U=U_{0}*(U(1)\otimes U(3))*U_{0}^{+}$ no se puede escribir como producto de unitarios locales.

udv

@X.Dong Hola, ¿mucho tiempo sin verte? Sin embargo, tiene razón, los contraejemplos son fáciles de construir una vez que la idea general está en su lugar.

udv

@Jacquard lo descompuse

U

$U$ porque traté de responder a tu pregunta: ¿pueden todos

U

$U$ tal que

U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$U|\psi\rangle\langle \psi|U = |\psi\rangle\langle \psi|$ ser descompuesto como

U = \prod_{k} U_{N_{k}}

$U = \prod_k{U_{{\mathcal N}_k} }$ cuando

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ se define en un conjunto de vecindarios conectados

N_{k}

${\mathcal N}_k$ ? la declaración sobre

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ estar en el núcleo del generador es bastante general, pero luego tenemos que considerar el caso particular que le interesa. Por cierto, olvidé agregar la transición de

U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U = | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$U|\psi\rangle\langle \psi|U = |\psi\rangle\langle \psi|$ a

U | ψ ⟩ = | ψ ⟩

$U|\psi\rangle = |\psi\rangle$ . ¿Debo agregarlo de todos modos?

Luis

@X.Dong: Estoy buscando un contraejemplo sobre una estructura de vecindario conectada . Es fácil encontrar contraejemplos si los vecindarios no están conectados.

Luis

@udrv: creo que la idea de explotar el hecho de que un estado es invariable si está en el núcleo del generador puede ser realmente útil. (La transición de matrices de densidad a vectores es bastante sencilla).

udv

De acuerdo. Luego, además de lo que sugirió X.Dong, ¿por qué no construir una base explotando la estructura "local" (supongo que estaría buscando un producto de "bases de vecindario") y luego construir un contraejemplo?

G

$G$ en términos de estados propios ortogonales a

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$ . Basta con elegir un estado propio que haga

G

$G$ no aditivo en los barrios.

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Luis

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