¿Por qué la masa efectiva del silicio es anisotrópica?

La regla de Neumann en realidad puede predecir la forma de estos tensores de masa efectivos anisotrópicos y la existencia de las masas longitudinales y transversales, si se le proporciona la información correcta. Por tanto, primero haré explícitos algunos preliminares, para que el cálculo final que da como resultado esta predicción tenga sentido.

La estructura cristalina del silicio tiene la$O_h$grupo de puntos (octaédrico), por lo tanto, cualquier cantidad asociada con el cristal mismo debe transformarse bajo este grupo de puntos. Específicamente, los elementos de simetría$\mathbf{A},\mathbf{B}\in O_h,$se puede especificar mediante matrices que actúan sobre vectores$\mathbf{v}\in\mathbb{R}^3$por

$$(\mathbf{A}\mathbf{v})_i=A_{ij}v_j,$$ actuar unos sobre otros por $$(\mathbf{A}\mathbf{B})_{ij}=A_{ik}B_{kj},$$ y como consecuencia debe actuar sobre tensores de rango 2${\boldsymbol\sigma}\in\mathbb{R}^3\otimes\mathbb{R}^3$por $$(\mathbf{A}\boldsymbol\sigma)_{ij}=A_{ii'}A_{jj'}\sigma_{i'j'}.$$

El grupo$O_h$puede generarse mediante tres reflexiones, que en nuestra presentación (eligiendo coordenadas cartesianas) puede escribirse

$$A_{ij}=\begin{bmatrix}1&&\\&1&\\&&-1\end{bmatrix}\quad B_{ij}=\begin{bmatrix}1&&\\&&1\\&1&\end{bmatrix}\quad C_{ij}=\begin{bmatrix}&1&\\1&&\\&&1\end{bmatrix}.$$

La regla de Neumann es que cualquier propiedad tensorial del cristal de rango 2 debe ser invariante bajo todas las condiciones.$O_h$, y porqué$\mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{C}$generar$O_h$, se reduce a ecuaciones como$\sigma_{ij}=A_{ii'}A_{jj'}\sigma_{i'j'}$(resp. por$B_{ij}$y$C_{ij}$). Si calculas esto, de hecho encuentras$\sigma_{ij}=\sigma\delta_{ij}$—cualquier tensor de rango 2 (como la masa efectiva) debe ser diagonal y, por lo tanto, isotrópico (igual en todas las direcciones), ya que actúa simplemente como un escalar$\sigma$.

Esto significa que los cristales de silicio no pueden tener ninguna masa efectiva anisótropa "única" (es decir, en algún sentido preferida o única). Sin embargo , la banda de conducción del silicio en realidad tiene, además de un mínimo centrado en el vector de onda$\mathbf{k}=\mathbf{0}$, 6 mínimos inferiores centrados en$\mathbf{k}_{+x}=\begin{bmatrix}k\\0\\0\end{bmatrix},\mathbf{k}_{-x}=\begin{bmatrix}-k\\0\\0\end{bmatrix},$etc para$\mathbf{k}_{\pm y},\mathbf{k}_{\pm z}.$Tenga en cuenta que cada una de estas "direcciones preferidas" por sí sola no es invariante bajo la simetría del cristal, por lo que podría pensar que la regla de Neumann excluye su existencia, pero en realidad se transforman entre sí , por lo que pueden existir cuando están todos juntos. De manera similar, la masa efectiva alrededor de cada uno de estos puntos puede ser anisotrópica, pero juntos encuentran que la masa efectiva alrededor de un punto se transforma bajo las simetrías del cristal en la masa efectiva alrededor de otro, y así todo el sistema es lo suficientemente simétrico para existir en el cristal. . (Tenga en cuenta que la masa efectiva del mínimo central es isotrópica como se predijo).

Explícitamente, podemos definir la masa efectiva como una función $\sigma_{ij}(\mathbf{k})$de que "bien" estamos en (donde$\mathbf{k}$solo puede ser el$\mathbf{k}_{\pm x},\mathbf{k}_{\pm y},\mathbf{k}_{\pm z}$desde arriba, y opcionalmente$\mathbf{0}$). La regla de Neumann entonces predice que esta función debe satisfacer

$$\sigma_{ij}(\mathbf{A}\mathbf{k})=A_{ii'}A_{jj'}\sigma_{i'j'}(\mathbf{k})$$ para todos$\mathbf{A}\in O_h$para ser permitido. Si calcula esto para cada uno de los generadores anteriores, volverá a llegar a un conjunto de requisitos para$\sigma_{ij}(\mathbf{k}).$

Haciendo el calculo me sale

$$\sigma_{ij}(\mathbf{0})=m_0\delta_{ij}\\\sigma_{ij}(\mathbf{k}_{+x})=\sigma_{ij}(\mathbf{k}_{-x})=\begin{bmatrix}m_l&&\\&m_t&\\&&m_t\end{bmatrix}\\\sigma_{ij}(\mathbf{k}_{+y})=\sigma_{ij}(\mathbf{k}_{-y})=\begin{bmatrix}m_t&&\\&m_l&\\&&m_t\end{bmatrix}\\\sigma_{ij}(\mathbf{k}_{+z})=\sigma_{ij}(\mathbf{k}_{-z})=\begin{bmatrix}m_t&&\\&m_t&\\&&m_l\end{bmatrix},$$ dónde$m_{0,l,t}$son los grados de libertad restantes después de eliminar todas las ecuaciones. Corresponden respectivamente a las masas efectivas isotrópicas (mínimo central) y longitudinales y transversales (mínimos anisotrópicos). Puede ver cómo la regla de Neumann es en realidad bastante predictiva (¡42 DOF se han convertido en 3!): Solo ingresé que había un conjunto simétrico de direcciones privilegiadas, cada una con un tensor de masa efectivo asociado y sugirió la existencia de masas longitudinales y transversales a lo largo de / perpendicular a esas direcciones, mientras se eliminan los términos cruzados. Además, estas masas deben ser las mismas en todos los pozos.

Para ser realmente abstracto sobre lo que está pasando aquí, tenga en cuenta que el principio de Neumann solo se aplica a aquellas cantidades que realmente pertenecen al cristal, sin que nada externo rompa la simetría. Si te doy un trozo de silicio, podrías determinar y escribir como un tensor 2 la masa efectiva del electrón en el mínimo central de la banda de conducción sin romper la simetría del cristal, pero no puedes hacer eso con la masa efectiva en el mínimos anisotrópicos. Tendría que elegir un mínimo para hacer la medición, y luego habrá roto la simetría del cristal y no se puede culpar al principio de Neumann si el tensor que obtiene no es lo suficientemente simétrico. Sin embargo, puede preservar la simetría al darse cuenta de que "la masa efectiva alrededor de los mínimos anisotrópicos"contiene las 6 masas efectivas anisotrópicas en un contenedor simétrico. Esta cantidad simétrica ya no está "contaminada" por su elección del mínimo para medirla, por lo que de hecho "pertenece" solo al cristal y puede aplicar el principio de Neumann a este objeto más grande (que es la función${\boldsymbol\sigma}(\mathbf{k})$) para inspeccionar la estructura de todas las masas efectivas anisotrópicas a la vez. Más generalmente,$\boldsymbol\sigma$es una función de todo (continuo)$\mathbf{k}$-espacio de todos modos, por lo que el principio${\boldsymbol\sigma}(\mathbf{A}\mathbf{k})=\mathbf{A}{\boldsymbol\sigma}(\mathbf{k})$sale de esa manera también.

Referencia parcial

Un tensor de segundo rango que describe una cantidad física en un cristal cúbico tiene la forma$\sigma_{ij} = \sigma\delta_{ij}$dónde$i$y$j$son$\{x,y,z\}$. <...> Sin embargo, los experimentos indican que la masa efectiva tiene un valor en la "dirección longitudinal" y un valor diferente en la "dirección transversal".

El tensor de masa efectivo describe el comportamiento del electrón en un solo valle, del cual hay seis instancias equivalentes para el mínimo de la banda de conducción. Si este tensor describiera las propiedades de un cristal , entonces debería ser isótropo*. Pero en realidad, describe las propiedades de un solo punto (su pequeño vecindario) en la zona de Brillouin, y no es el$\Gamma$punto, por lo que puede ser anisótropo sin romper ningún principio.

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_{*Observe cómo el promedio de las 6 masas efectivas de valle equivalente se vuelve isótropo, a diferencia de cada una de las masas.}

Esto se debe a que los mínimos de la banda de silicio no están ubicados en el centro de la Zona de Brillouin, sino en algún punto finito.$\pm {\bf k^0_i}$. La simetría cúbica del cristal de silicio significa que hay seis de estos mínimos y están a la misma distancia del centro de la zona ($k^0_x = k^0_y = k^0_z$). Las bandas alrededor de estos mínimos, sin embargo, no son isotrópicas, de modo que esto da lugar a masas efectivas anisotrópicas para los electrones que las ocupan.

Tenga en cuenta que esto no rompe la simetría general del sistema, ya que rotar la estructura cristalina por$90$grados (y así rotar la zona de Brillouin de la misma manera) llevaría cada mínimo a otro y dado que todos están en el mismo nivel de energía, todos deberían permanecer (in)ocupados.

Imagen de referencia de las superficies de energía constante alrededor de estos mínimos: #/media/File:Silicon_conduction_band_ellipsoids.JPG

Brews ohare, CC BY-SA 3.0 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0 , a través de Wikimedia Commons