Medición de la masa efectiva

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Medición de la masa efectiva

masa
Física
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semiconductor-física
tecnica-experimental

usuario929304

Introducción:

Para evitar cualquier confusión de terminología, esto se pregunta en el contexto de la física del estado sólido y los semiconductores.

La definición canónica dada para la masa efectiva es que está relacionada con la curvatura de las bandas de conducción y valencia en la estructura de bandas (dispersión de energía en términos del vector k) para electrones y huecos respectivamente. Asi que $m_{eff}$ es dado por:

\begin{matrix} (*) & {metro}_{mi F F}^{- 1} = ℏ^{- 2} \frac{\partial^{2} mi}{\partial k^{2}} \end{matrix}

$m_{eff}^{-1} = \hbar^{-2}\frac{\partial^2 E}{\partial k^2} \tag{*}$

Además, para los agujeros, a menudo hay que distinguir entre los ligeros y los pesados, ya que la estructura de la banda puede contener múltiples bandas de valencia con diferentes curvaturas. Las masas efectivas generalmente se tabulan en términos de masas de electrones libres, por ejemplo, para el silicio sabemos que los agujeros pesados tienen $49\%$ la masa del electrón libre y los agujeros de luz $16\%.$

Pregunta:

Solo tengo curiosidad por saber cómo experimentalmente, para un material dado (GaAs, Ge, ...) uno mide las masas efectivas. ¿Cuáles son los métodos más adoptados? Sería esclarecedor conocer las ideas clave detrás de tales procedimientos experimentales.
¿Existen formas directas e indirectas de medir $m_{eff}?$ (indirecto en el sentido de que medimos otros observables a partir de los cuales podemos inferir de manera confiable cuáles deberían ser las masas efectivas, y directo en el sentido de que un experimento designado únicamente para medir $m_{eff}.$ )
Si una cuenta útil de las ideas involucradas es difícil de implementar en dicha plataforma, siéntase libre de consultar la literatura relevante donde se brinda una exposición sólida.

Respuestas (3)

Medición de la masa efectiva

AccidentalFourierTransformar · Answer 1

El método que describiré se llama Resonancia de ciclotrón , y es una buena manera de medir directamente $m^*$ mediante el uso de un campo magnético fijo $\boldsymbol B$ .

La ecuación de movimiento de los electrones en un determinado material, cuando en presencia de un campo magnético $\boldsymbol B$ son

\begin{matrix} (1) & {metro}^{*} \dot{v} = - mi v \times B - \frac{{metro}^{*}}{τ} v \end{matrix}

$m^*\dot{\boldsymbol v}=-e\boldsymbol v\times \boldsymbol B -\frac{m^*}{\tau}\boldsymbol v\tag{1}$ dónde

τ

$\tau$ es el tiempo de relajación

^{1}

$^1$ de los electrones (en general,

τ^{- 1}

$\tau^{-1}$ es un número muy pequeño, así que por ahora podríamos tomar

τ^{- 1} = 0

$\tau^{-1}=0$ ; será importante más adelante). si tomamos

τ^{- 1} = 0

$\tau^{-1}=0$ , entonces la solución de

(1)

$(1)$ es bien conocido: el electrón se mueve en una órbita circular, con frecuencia angular

\begin{matrix} (2) & ω_{C} = \frac{mi B}{{metro}^{*}} \end{matrix}

$\omega_c=\frac{eB}{m^*} \tag{2}$

al medir $\omega_c$ para diferentes valores de $B$ podemos obtener una medida muy precisa de $m^*$ . Pero, la pregunta obvia, ¿cómo podemos medir efectivamente $\omega_c$ en un laboratorio? La respuesta es sorprendentemente fácil, como veremos en un momento.

Si, en la situación anterior, encendemos una fuente de luz monocromática (digamos, un láser) con frecuencia $\omega$ , habrá un campo eléctrico $\boldsymbol E\;\mathrm e^{-i\omega t}$ , y las nuevas ecuaciones de movimiento serán

\begin{matrix} (3) & {metro}^{*} \dot{v} = - mi (mi (t) + v \times B) - \frac{{metro}^{*}}{τ} v \end{matrix}

$m^*\dot{\boldsymbol v}=-e(\boldsymbol E(t)+\boldsymbol v\times \boldsymbol B) -\frac{m^*}{\tau}\boldsymbol v\tag{3}$

Usando el ansatz $\boldsymbol v(t)=\boldsymbol v_0\;\mathrm e^{-i\omega t}$ , y resolviendo para $\boldsymbol v_0$ (queda como ejercicio), puedes comprobar fácilmente que en este caso, $\boldsymbol v(t)$ será proporcional a $\boldsymbol E(t)$ (que debería ser más o menos intuitivo). Por ejemplo, si tomamos $\boldsymbol B$ en el $z$ dirección, entonces $\boldsymbol v$ es dado por

\begin{matrix} (4) & v_{0} = \frac{mi}{{metro}^{*}} {(\begin{matrix} i ω - 1 / τ & ω_{C} & 0 \\ - ω_{C} & i ω - 1 / τ & 0 \\ 0 & 0 & i ω - 1 / τ \end{matrix})}^{- 1} mi \end{matrix}

$\boldsymbol v_0=\frac{e}{m^*}\begin{pmatrix} i\omega-1/\tau&\omega_c&0\\-\omega_c&i\omega-1/\tau&0\\0&0&i\omega-1/\tau\end{pmatrix}^{-1}\boldsymbol E \tag{4}$ dónde

^{- 1}

$^{-1}$ significa matriz inversa.

Este sistema absorberá energía de la fuente, por lo que la luz transmitida será menos intensa que la luz entrante. La potencia absorbida es sólo $\text{Re}[\boldsymbol j\cdot\boldsymbol E]$ , y como $\boldsymbol j\propto \boldsymbol v$ , es fácil comprobar que

\begin{matrix} (5) & PAGS \propto Re [\frac{1 - i ω τ}{(1 - i ω τ)^{2} + ω_{C}^{2} τ^{2}}] \propto \frac{1}{(1 - ω^{2} τ^{2} + ω_{C}^{2} τ^{2})^{2} + 4 ω^{2} τ^{2}} \end{matrix}

$P\propto \text{Re}\left[\frac{1-i\omega \tau}{(1-i\omega\tau)^2+\omega_c^2\tau^2}\right]\propto \frac{1}{(1-\omega^2\tau^2+\omega_c^2\tau^2)^2+4\omega^2\tau^2} \tag{5}$

Ahora bien, si variamos $\omega$ , el poder $P$ cambios, y de $(5)$ podemos ver que habrá resonancia cuando $(\omega^2+\omega_c^2)\tau^2=1$ . En la práctica, $\omega\tau\ll 1$ , por lo que la frecuencia de resonancia es $\omega\approx\omega_c$ :

$\hspace{100pt}$

donde corresponden las lineas $\tau=0.1,\;0.5,\;1,\;3$ , de verde a azul. Como puedes ver, por $\tau\to 0$ , la resonancia tiende a $\omega_c$ , por lo que al medir la frecuencia de resonancia obtenemos el valor de $\omega_c$ , es decir, el valor de $m^*$ .

$^1$ el tiempo de relajación $\tau$ está relacionado con el camino libre medio: $\ell\sim v\tau$ . Tomando $\tau^{-1}\approx 0$ significa que asumimos que el electrón realiza muchas órbitas de ciclotrón antes de chocar con algo (iones, impurezas,...).

Gracias por esta respuesta, de hecho es del tipo que estoy buscando. 1 o 2 preguntas si se me permite: i) ¿Por qué se nos permite tratar al electrón de forma clásica aquí? (ya que la ecuación (3) es básicamente la ecuación de movimiento de Newton). ii) ¿La imagen sigue siendo la misma para los agujeros? (excepto posiblemente por un cambio de signo de carga) iii) Sería genial si pudiera incluir algunas de las percepciones físicas involucradas, por ejemplo, ¿dónde está el ansatz de $v(t)$ ¿viene de? Gracias un montón
i) esta es una muy buena pregunta, pero me temo que es una pregunta en sí misma (merece una nueva publicación): se necesitan varios párrafos para responder. En pocas palabras: bajo ciertas aproximaciones (aproximación semiclásica), el efecto medio de la red es alterar la dinámica de los electrones cambiando su masa. Este es el significado de $m^*$ : podemos describir el movimiento de los electrones (intrínsecamente cuánticos) como si fueran partículas libres clásicas, y todos los efectos cuánticos se reabsorben en $m^*$ . Esto no siempre es válido, pero en general es una buena aproximación, al menos para un (1/2)
(2/2) descripción cualitativa ii) sí, pero tenga en cuenta que la masa efectiva de los agujeros es diferente de la de los electrones iii) Me temo que no hay una idea física: son solo matemáticas. Este ansatz es omnipresente en física: cuando tienes una ecuación diferencial donde los factores dependen de $t$ a través de exponenciales, siempre usamos el mismo ansatz. Por ejemplo, al resolver circuitos RLC, o un oscilador armónico accionado, la ecuación de onda, etc. Es solo un truco matemático que la gente descubrió hace siglos: si vas a resolver cualquier EDO, siempre puedes intentar una solución exponencial: por lo general obras
de todos modos, para la pregunta i): en el segundo párrafo de mi publicación, donde digo " La ecuación de movimiento de los electrones... ", puedes hacer clic en el enlace y te llevará a la página de wikipedia donde explican por qué podemos usar la ecuación de Newton.
Me alegro de haber podido ayudar :) en realidad, yo también estoy esperando otras contribuciones a la publicación, porque me gustaría aprender otros métodos para medir $m^*$ . ¡Sería una pena si no obtienes más respuestas, porque esta es una pregunta muy interesante!
@ user929304 El álgebra probablemente se discuta en la mayoría de los libros sobre física del estado sólido. Intentaré encontrar uno y luego diré algo. Por ahora, el campo E es necesario porque un campo B solo no te permitirá medir nada: un campo magnético constante hace que los electrones giren, pero no puedes verlos, por lo que no sabes la frecuencia. Si enciende un láser (con un campo E) puede medir la intensidad del láser, que está acoplada a la rotación de los electrones. Esto significa que al medir la intensidad se "ven" los electrones y su movimiento. Cuando encuentre un buen libro sobre esto, diré algo.
Muchas muchas gracias. Oh, entonces, por ejemplo, aquí la potencia absorbida se mide comparando la intensidad transmitida con la intensidad de entrada, ¿verdad?
@ user929304 ver Marder, Condensed Matter Physics (Wiley, 2000), página 583.
Es posible que se haya perdido algunas correcciones: al final, debería ser "como $\tau^{-1}\to 0$ ...". Además, a través de lecturas adicionales , parece que en realidad lo que queremos es $\omega \tau >> 1$ ya que queremos grandes tiempos de relajación. Finalmente, estos experimentos se realizan a muy baja temperatura (nuevamente debido a $\tau$ que tiene que ser grande), sobre $4$ Kelvin. Así que no sé si el $kT$ el argumento es muy grande todavía se mantiene. Me pregunto por qué tomamos los picos de los extremos en los diagramas de absorción de energía para los agujeros y los del medio para los electrones. ver enlace
@user929304 (1/2) sí, lo siento, olvidé arreglar el $\tau\to 0$ . Pero es importante darse cuenta de que "grande" y "pequeño" son relativos: un $\tau\sim 10^{-14}\ \mathrm s$ puede ser grande en algún contexto y pequeño en otros. En este caso, para las medidas de ciclotrón solemos tomar $B$ campos en el rango $B=\sim0.3\ \mathrm T$ . En este caso, la frecuencia del ciclotrón es más o menos $\omega_c\sim 4\ \mathrm{MHz}$ , lo que significa $\omega_c \tau\sim 10^{-8}$ . El tiempo de relajación es realmente muy pequeño en comparación con $1/\omega_c$ .
(2/2) Si usamos una temperatura de $T\sim 4\ \mathrm K$ obtenemos $\frac{\hbar\omega_c}{kT}\sim 10^{-5}$ , Lo que significa que $kT\gg \hbar \omega_c$ . ¡Necesitamos números adimensionales para saber realmente qué es grande y qué no lo es! Sobre los picos, puedo decir que lo comentado en mi respuesta se refiere a materiales isotrópicos. Si la matriz de masa $m^*_{ij}$ no es diagonal, esperamos varios picos en la frecuencia de resonancia de los valores propios de la matriz de masa. Las matemáticas se vuelven más complejas, pero el principio de funcionamiento es el mismo.
Gracias por responderme en tan poco tiempo. Puntos justos. Necesito reflexionar más sobre todo esto, me pondré en contacto contigo en caso de que todavía esté perdido de alguna manera :)

James Rowland · Answer 2

Otro método para medir la masa efectiva sería medir la conductividad dependiente de la frecuencia y la resistencia Hall de una muestra. Siguiendo la teoría de Drude podemos obtener una expresión para la conductividad longitudinal

σ (ω) = \frac{σ_{0}}{1 + i ω τ}

$\sigma(\omega)=\frac{\sigma_0}{1+i\omega\tau}$ con

σ_{0} = \frac{norte q^{2} τ}{{metro}^{*}}

$\sigma_0=\frac{nq^2\tau}{m^*}$ y

n

$n$ es la densidad de electrones (agujeros) y

q

$q$ es la carga por electrón (hueco). La densidad de electrones se puede determinar con gran precisión usando una medición de resistencia Hall

R_{H} = \frac{1}{norte q}

$R_H=\frac{1}{nq}$ Esto deja dos incógnitas,

τ

$\tau$ y

m^{*}

$m^*$ que se puede obtener midiendo y ajustando

σ (ω)

$\sigma(\omega)$ a la expresión de la teoría de Drude.

¡muy interesante! Sería genial si pudiera agregar una o dos palabras sobre cómo se mide la conductividad en tales casos (o tal vez una referencia relevante).

Iván Madán · Answer 3

Si bien no se usa mucho, pero es muy buena para la visualización, es la técnica ARPES que mapea directamente la estructura de la banda ( Exmpales :) ). Esto puede ser muy útil cuando se tiene renormalización de bandas o efectos colectivos, por lo que ya no es sencillo definir la masa efectiva.

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