¿Por qué los electrones por debajo del nivel de Fermi no conducen la electricidad?

Electrones en Sólidos

Los electrones en los sólidos son tratados por la llamada teoría de bandas, un modelo de mecánica cuántica para fermiones que interactúan con una red cristalina fija. La solución a la ecuación de Schrödinger muestra que los orbitales atómicos se superponen y los niveles de energía de los electrones forman bandas de energía de unos pocos electronvoltios cada una. Si la red tiene$N$átomos, entonces cada banda tiene$N$k-estados (estados de momento) que se distribuyen simétricamente entre momentos positivos y negativos . Dado que la cantidad de átomos en los sólidos suele ser grande, los niveles de energía en cada banda están tan cerca que parece un continuo. Las bandas están separadas por una energía finita, es decir, regiones vacías de estados llamadas bandgaps (o simplemente gaps). Es el relleno de estas bandas y el tamaño de los huecos lo que caracteriza la conductividad eléctrica (así como las propiedades ópticas) de los sólidos.

Supongamos que estamos a temperatura cero (absoluta). Los electrones llenan las bandas de manera que la energía se minimiza, pero dado que obedecen el principio de exclusión de Pauli, solo puede haber dos electrones (girar hacia arriba y girar hacia abajo) en cada estado k. Así, los electrones ocupan las bandas desde los niveles de energía más bajos hasta los más altos. A$0\, \mathrm K$todos los niveles están completamente llenos desde abajo. La última banda con electrones se llama banda de valencia y la energía del nivel más alto ocupado se dice que es la energía de Fermi.

Conductividad eléctrica a partir de la teoría de bandas

Tenga en cuenta que todos los electrones por debajo del nivel de Fermi no pueden decaer, todos los estados por debajo están ocupados y los electrones deben satisfacer el Principio de Pauli. Por la misma razón, la única forma en que pueden excitarse es superando el nivel de Fermi, si eso es posible. A veces, las personas se refieren a estos electrones como congelados.

Cuando se aplica un campo eléctrico al sólido, los electrones interactúan con el campo y por lo tanto pueden cambiar su estado. Sin embargo, un electrón solo puede obtener energía del campo si hay un estado disponible para que salte. Supongamos que comenzamos con un campo arbitrariamente débil, los electrones muy por debajo del nivel de Fermi no pueden excitarse, la energía posiblemente obtenida del campo no es suficiente para llevarlo a un estado vacío. Por otro lado, el electrón cercano al nivel de Fermi puede o no estar excitado y eso es lo que distingue a los conductores de los aislantes.

Corriente eléctrica

Digamos que nuestro sólido tiene un electrón de valencia, es decir, el$N$los átomos tienen un electrón en la última capa cada uno. Como vimos, cada banda tiene$2N$estados de modo que la banda de valencia sólo se llene a la mitad. Por la distribución simétrica de los k-estados, el momento medio de los electrones es cero. Esto significa que no se están moviendo en una dirección preferida, no fluye corriente.

Si se aplica un campo eléctrico a lo largo de alguna dirección, digamos la$x$eje, los electrones pueden acelerar ya que hay un montón de estados vacíos para ir. Habrá una repoblación de estados electrónicos . Esto significa que los electrones con estados k negativos migran a los positivos, que están por encima del nivel de Fermi . Tenga en cuenta que el impulso promedio ahora no es cero, hay una dirección preferida para moverse que da lugar a una corriente distinta de cero. Este sólido es un conductor.

Por otro lado, si la banda de valencia está completamente llena, no puede haber repoblación porque hay una brecha por encima del nivel de Fermi. El impulso promedio sigue siendo cero y este sólido no conduce.

Como podemos ver en estos dos ejemplos anteriores, cuando decimos que solo los electrones por encima del nivel de Fermi conducen, lo que realmente queremos decir es que para tener conductividad eléctrica debe haber una repoblación de estados k y esto solo es posible si los electrones puede saltar a los estados disponibles, los estados por encima del nivel de Fermi.

El principio de exclusión de Pauli es la clave aquí. Centrándose en el espacio de impulso y observando el espacio isotrópico (no es posible en un cristal, por supuesto) al principio. A temperaturas frías, la mayoría de los electrones intentarán entrar en el estado de energía mínima. Solo hay un estado con impulso cero. El siguiente electrón tiene que elegir un estado con momento distinto de cero. El tercer electrón elegirá entonces el estado en el otro lado del estado de momento de modo que sus momentos sumen cero. Agregar más y más electrones dará como resultado una esfera de Fermi , mire la imagen en esta página para ver una representación. Es solo una esfera en el espacio de momento.

Hay electrones moviéndose todo el tiempo, pero también siempre el mismo número en la dirección opuesta. Entonces, aunque se mueven, no hay corriente neta. En un cristal, la superficie de Fermi no se verá tan simple, sino más como la que se muestra en esa página para el cobre. La superficie de Fermi no se puede comprimir debido al principio de exclusión de Pauli.

Cuando aplicas un pequeño campo eléctrico externo, los estados que se mueven a lo largo del campo eléctrico se verán favorecidos. Cuando todos los electrones comiencen a desviarse un poco, toda la esfera de Fermi en el espacio de momento se desplazará hacia un lado. Luego se vuelve asimétrico (en el espacio de momento) y habrá una corriente neta.

Al observar las diferencias entre las superficies de Fermi con y sin el campo externo, verá que el volumen no ha cambiado (los electrones no se distinguen) pero que la superficie se ha movido. Por un lado, están por encima de la superficie original de Fermi, por el otro, es posible que los estados ocupados ya no alcancen la superficie de Fermi.

A$T = 0$, todos los estados debajo de la superficie de Fermi están ocupados, ninguno con mayor energía está ocupado. Con$T > 0$, la distribución es como$\exp(- E/T)$. Ahora se pueden ocupar estados más altos mientras hay estados libres con un impulso más bajo dentro de la esfera. Por lo tanto, la superficie de Fermi comenzará a desdibujarse.

Creo que la pregunta en sí es un poco engañosa o está mal formulada. Estrictamente hablando, si fluye corriente en algo, no tiene un nivel de Fermi en absoluto, ya que la distribución de Fermi-Dirac es una criatura de la mecánica estadística de equilibrio. El flujo de corriente implica que no hay equilibrio. Entonces, ¿qué hace que fluya la corriente?

Si tiene algo descrito por la ecuación de Schroedinger, podría ser una molécula o un bloque de semiconductor y podría tener un continuo de estados o un número discreto. Tal objeto obedecerá las estadísticas de Fermi-Diract y tendrá un nivel de Fermi. Llamaré a este objeto el 'dispositivo' de ahora en adelante por simplicidad. A${T>0}$habrá algunos electrones en estados por encima del nivel de Fermi y algunos estados por debajo estarán vacíos. Esto es lo que nos dice la distribución de Fermi-Dirac: nos dice cómo los fermiones llenan los estados en equilibrio. Observe que aunque tenemos algunos electrones por encima del nivel de Fermi, la corriente no fluye.

Ahora si adjuntamos algunos contactos a este sistema y esperamos un rato veremos que sigue sin haber corriente. Finalmente, si conectamos los contactos a una batería (u otra fuente de voltaje), veremos un flujo de corriente a través del dispositivo para el que resolvimos la ecuación de Schroedinger. ¿Por qué? Porque la batería ha cambiado los potenciales químicos (también conocidos como niveles de Fermi) en los contactos . Si la 'ventana' de energía definida por$\mu_1-\mu_2$corresponde a estados de energía en el dispositivo, la corriente fluirá. Conceptualmente, el contacto a mayor potencial químico$\mu_1$llena los estados en el dispositivo con energía$E<\mu_1$y el contacto a menor potencial químico$\mu_2$vacía los estados con energía$E>\mu_2$Si no hay estados en la ventana$\mu_1-\mu_2$, no fluirá corriente. Es por eso que no obtendrá mucha corriente de un bloque de cuarzo sin importar cuánto voltaje aplique. Dependiendo de cómo muevamos la ventana de energía podemos tener más o menos estados correspondientes a ella. Esto explica cómo podemos obtener resultados como la resistencia diferencial negativa, donde aumentamos el voltaje pero la corriente disminuye y dispositivos como el diodo de túnel resonante.

Notas y advertencias

En este punto usted podría estar gritando, "¿no dijo que no podía tener una distribución de Fermi Dirac y una corriente al mismo tiempo?" Estrictamente hablando, eso es cierto. Sin embargo, es típico suponer que los contactos representan una reserva de electrones tan grande que la corriente que fluye a través de ellos no los perturba lejos del equilibrio y la distribución de Fermi-Dirac aún se mantiene aproximadamente. Esto funciona bien para contactos suficientemente grandes y voltajes suficientemente bajos. La imagen general aún funciona sin esta suposición si tiene algún otro método para definir$\mu_1$y$\mu_2$, pero eso es complicado de hacer. Si está realmente preocupado por la ocupación de estados en sus contactos, probablemente sea mejor tratarlos como otros pequeños dispositivos acoplados a su dispositivo central y asumir que la distribución de Fermi-Dirac se mantiene en otros lugares. En algún momento, su dispositivo debe estar acoplado al mundo exterior para poder medir algo al respecto.

Los observadores astutos notarán que hay otras formas de cambiar los potenciales químicos en los contactos además de simplemente aplicar un voltaje como gradientes de temperatura. Esto también es cierto, pero un poco más allá del alcance de esta pregunta y la imagen general aún se mantiene: los electrones fluyen si hay estados en la ventana de energía.

El principio de exclusión de Pauli entra aquí a través de la derivación de la función de distribución de Fermi-Dirac.

Dónde aprender más No tengo tiempo en este momento para hacer figuras que ilustren lo anterior, así que por el momento dirigiré al lector a la página web del profesor Supriyo Datta, quien tiene muchos videos e instrucciones excelentes en esta área.

"Físicamente, ¿por qué los electrones necesitan excitarse por encima del nivel de Fermi para conducir electricidad?"

ellos no Este es un concepto erróneo popular; ¡la premisa de su pregunta es mayormente incorrecta, al igual que las 6 respuestas proporcionadas hasta la fecha (22 de junio de 2018)!

Una prueba simple de que las otras respuestas son incorrectas es considerar que la cantidad de electrones sobre la superficie de Fermi es cero en el cero absoluto. Por lo tanto, si ellos son correctos y yo estoy incorrecto, la resistencia en el cero absoluto sería máxima. Para la mayoría de las sustancias, la resistencia es mínima en el cero absoluto, como se puede ver experimentalmente en este gráfico:

En un metal normal y puro , los electrones por debajo del nivel de Fermi son casi superconductores y se mueven sin ninguna resistencia.

Conceptualmente, uno puede ver la fracción superconductora de la nube de electrones como discos de hockey en un juego de hockey de aire, siendo las perturbaciones de los iones pequeñas en comparación con los tamaños de los discos, lo que permite una fuerza difusa o promedio de cero:

Sin embargo, los electrones por encima del nivel de Fermi tienen una energía relativamente alta y un tamaño efectivo lo suficientemente pequeño como para poder "ver" (y por lo tanto interactuar con) el campo iónico periódico debido a los iones apantallados y estrechamente espaciados.

En mi ejemplo de air hockey, estas contribuciones de alta energía hacia la nube de electrones son lo suficientemente pequeñas como para ser empujadas un poco hacia atrás antes de pasar por un chorro de aire o deslizarse sin una capa de aire. Esta interacción produce un intercambio de cantidad de movimiento que, debido a que los electrones deben considerarse como una distribución de nubes, sin mencionar que la división de la nube causaría un fuerte campo, le da a toda la nube de electrones una fuerza de arrastre neta medible como resistencia, lo que ralentiza hasta la velocidad de deriva y evitando que tenga una aceleración neta.

En un conductor no puro , las impurezas provocan deformaciones en la red, que la nube de electrones considerará como arrastre.

En mi ejemplo de air hockey, esto es como suciedad en la superficie contra la que rozan los discos.

En un no conductor , todos los electrones quedan atrapados en los átomos y no hay conducción excepto en casos especiales como campos altos (p. ej., rayos) o radiación externa (p. ej., el efecto fotoeléctrico).

En mi ejemplo de air hockey, la cantidad de discos de hockey gratis es cero, ya que todos están atrapados entre los orificios de ventilación.

En un semiconductor , el número de electrones libres en la banda de conducción aumenta con la temperatura, ya que los electrones son forzados a salir del$0$K Esfera de Fermi en el espacio de cantidad de movimiento. En este caso, elevar la temperatura puede aumentar la conductividad si la banda de conducción estaba relativamente vacía.

En mi analogía del air hockey, el número de discos libres es pequeño pero aumenta a medida que aumenta la temperatura, desalojandolos de sus iones. Esto sucede para átomos con valencias intermedias, como el carbono, germanio, silicio, etc.

Para este caso, la premisa de su pregunta parecería tener sentido, excepto que su pregunta usa la palabra "necesitar" sin ninguna restricción en lugar de algo así como "...necesita en semiconductores ..." Por lo tanto, está mal, junto con todas las otras 6 respuestas hasta la fecha por no darse cuenta de esto, así como por decir cosas incorrectas, como que los electrones conductores siempre necesitan saltar a estados disponibles por encima del nivel de Fermi (la respuesta actual número 1 votada), el impulso de los electrones por debajo el nivel de Fermi se cancela por completo entre sí (la respuesta votada #2 actual), etc.

Por cierto, una vez que se llena una banda de conducción en un semiconductor, los aumentos adicionales de temperatura deberían disminuir la conductividad y aumentar la resistencia, ya que los fonones pueden interactuar más fuertemente con la nube de electrones libres.

En mi ejemplo de air hockey, los discos conductores libres se vuelven lo suficientemente pequeños como para tener que deslizarse sin una capa de aire. Por lo tanto, incluso en los semiconductores, más electrones por encima del nivel de Fermi no siempre se correlacionan con resistencias más bajas o un mayor flujo de corriente.

Volviendo ahora a su pregunta sobre la relevancia del Principio de Exclusión de Pauli , entra en juego porque los electrones que forman la nube quedan atrapados como la partícula proverbial en una caja de tamaño determinado por$Z$y el espaciado iónico. Si estos electrones no están apareados, actúan como fermiones. Esto controla la cantidad de electrones que pueden llenar los niveles más bajos, lo que a su vez controla la cantidad de electrones que pueden llenar los niveles superiores, como las bandas de conducción en los semiconductores. Sin esto, no habría electrones tan altos en estos niveles de energía de banda de conducción, y la naturaleza sería muy diferente.

Las bandas de electrones son simétricas$k = 0$, por lo que por cada electrón en una banda llena, existe otro electrón con impulso opuesto que cancela su corriente, lo que da como resultado un flujo de corriente neto cero. Un campo eléctrico infinitesimal aplicado solo inclina las bandas en una cantidad infinitesimal, por lo que si toda la banda se encuentra por debajo del nivel de Fermi, permanecerá llena si se aplica un campo eléctrico infinitesimal, y esta cancelación de corriente seguirá siendo robusta.

Pienso en el comercial de televisión donde la escalera mecánica se detiene y todas las personas quedan atrapadas. Los pasos son niveles de energía y hay dos personas en cada paso (girar hacia arriba y girar hacia abajo). Ninguna tercera persona puede ocupar un escalón (exclusión de Pauli). Solo los que están en la parte superior (superficie de Fermi) son libres de moverse (ganar energía). Cuando lo hacen, los pasos son libres y más pueden subir.

Aquí está mi forma de pensarlo intuitivamente:

Cada electrón en un átomo reside en un nivel (o estado) de energía específico. El principio de exclusión de Pauli impide que cualquiera de ellos ocupe exactamente el mismo estado de energía.

Al juntar dos átomos iguales, tienen electrones idénticos en estados de energía idénticos. De nuevo, el principio de exclusión de Pauli impide que dos electrones ocupen el mismo estado de energía. Por lo tanto, deben "ajustar" sus estados de energía para que sean un poco más bajos o un poco más altos, encajando uno debajo y uno encima del otro para que funcione.

Cuando una cantidad infinita de átomos iguales se juntan para formar un material sólido, se deben juntar y encajar una cantidad infinita de estados de energía debajo y encima de la otra. Esta pila de muchos, muchos estados de energía es lo que llamamos una banda , tan apretada que la banda es casi continua.

Todos los estados de energía están ocupados, lo que significa que todos los puntos de la banda están ocupados. Ningún electrón puede moverse a ninguna parte. Una corriente es imposible.

Si una elección lograra llegar a la siguiente banda de estados apretados pero esta vez vacíos de energía, entonces estaría solo. Cualquier cantidad insignificante de energía haría que se moviera de un lugar a otro dentro de esta banda vacía. Ahora es posible una corriente.

Esta es la idea. El principio de exclusión de Pauli es clave. Esa es la razón por la que los electrones no pueden moverse en bandas llenas.