¿Por qué la función Digamma siempre se denota con la letra "psi"?

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¿Por qué la función Digamma siempre se denota con la letra "psi"?

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Mi pregunta es sobre la notación de la función Digamma .

La función factorial $n!$ (que se cumple en la escuela secundaria), es conceptualmente fundamental para la función Digamma. La función factorial se define como:

0! = 1, norte! = \frac{(norte + 1)!}{norte + 1}

$0!=1,\qquad n!=\frac{(n+1)!}{n+1}$

Este concepto se amplía con la función Pi de Gauss:

Π (z) = \frac{Π (z + 1)}{z + 1}

$\operatorname\Pi(z)=\frac{\operatorname\Pi(z+1)}{z+1}$ y con un desplazamiento de unidad simple ( ver aquí ), la función Euler Gamma más familiar:

Γ (z) = \frac{Γ (z + 1)}{z}

$\operatorname\Gamma(z)=\frac{\operatorname\Gamma(z+1)}z$

La función Digamma es una extensión adicional:

ψ (z) = \frac{Γ^{'} (z)}{Γ (z)}

$\psi(z)=\dfrac{\operatorname\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$ y se puede ampliar con la función Polygamma:

ψ^{metro} (z) = \frac{d^{metro}}{d z^{metro}} ψ (z)

$\psi^m(z)=\frac{\mathrm d^m}{\mathrm dz^m}\psi(z) %=\frac{\mathrm d^{m+1}}{\mathrm d z^{m+1}}\ln \operatorname\Gamma(z)$

Todas las fuentes que he encontrado que mencionan Digamma (o Polygamma) lo denotan como arriba con la letra griega 'psi' $\psi$ . Esto me aturde y me confunde. La forma mayúscula del griego arcaico de digamma se asemeja al glifo de gamma mayúscula $\Gamma$ , pero con una barra transversal horizontal adicional, haciéndola aparecer como una 'doble gamma' o una barra latina $\mathrm F$ .

Los caracteres gamma en mayúsculas, digamma y psi en minúsculas están disponibles en LaTeX/MathJax, donde $$\Gamma,\digamma,\psi$$produce:

Γ, ϝ, ψ

$\huge\Gamma,\digamma,\psi$

Tiene sentido que 'Digamma' sea elegido como un símbolo que es visual y etimológicamente similar a la función Gamma, porque estas funciones están estrechamente relacionadas. No tiene ningún sentido elegir el símbolo. $\psi$ . Pero lo que realmente me molesta es que el nombre de la función no coincide con el símbolo de la función.

Mis preguntas):

Si vamos a llamarla función 'Digamma', ¿por qué no usamos un símbolo 'Digamma'?
o, por el contrario
, si vamos a utilizar un símbolo 'psi', ¿por qué no lo llamamos función 'psi'?

¿Hay alguna justificación para el establecimiento o la continuación de esta convención arraigada? ¿Es esto simplemente un artefacto histórico de la humanidad idiota (un error tipográfico)? ¿O hay más en la historia?

Mi mejor conjetura es que muchos tienen algo que ver con las limitaciones tipográficas o la sobrecarga. Pero todavía parece una notación ridículamente confusa para aprender (y mucho menos para enseñar y propagar).

Lubín

Supongo que sabrás que había una letra griega “digamma”, caída en desuso en la época clásica. Representaba un

w

$w$ sonido, que había desaparecido de la lengua. Como parecía una gamma apilada sobre otra, se la llamó digamma. Diríamos que parecía un

F

$F$ con un fondo rizado.

Torsten Schöneberg

La "Enciclopedia de Matemáticas" de Springer-wiki lo llama "Psi-function": encyclopediaofmath.org/index.php/Psi-function Todas las demás fuentes que verifiqué dicen "Digamma", pero en su mayoría usan como símbolo alguna variante de la letra psi.

Leucipo

Si se recuerda correctamente "13 de octubre de 1729, Leonhard Euler, Carta a Goldbach" utilizado por primera vez

Γ (x)

$\Gamma(x)$ y en el libro de Legendre "Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes" ambos

Γ (x)

$\Gamma(x)$ y

ψ (x)

$\psi(x)$ son usados.

arena1

¿No es lógico, si tienes una poligamma, tener una trigamma y digamma? Históricamente, el conteo ha ido al revés: 1,2, etc. 'Psi' tiene el mismo comienzo que 'poly' y si alguien no quisiera tener una función pi, un nombre que quizás ya se haya usado, psi parece como un segundo mejor.

Elementos en el espacio

La 'p' es 'psi', es muda.

arena1

La 'p' en 'psi' se pronuncia en griego y en la mayoría de los idiomas europeos. Además, gran parte de la escritura matemática se realiza a mano, y la letra digamma es bastante similar a la 'F', lo que podría resultar confuso.

Respuestas (2)

¿Por qué la función Digamma siempre se denota con la letra "psi"?

Supongo que sabrás que había una letra griega “digamma”, caída en desuso en la época clásica. Representaba un $w$ sonido, que había desaparecido de la lengua. Como parecía una gamma apilada sobre otra, se la llamó digamma. Diríamos que parecía un $F$ con un fondo rizado.
La "Enciclopedia de Matemáticas" de Springer-wiki lo llama "Psi-function": encyclopediaofmath.org/index.php/Psi-function Todas las demás fuentes que verifiqué dicen "Digamma", pero en su mayoría usan como símbolo alguna variante de la letra psi.
Si se recuerda correctamente "13 de octubre de 1729, Leonhard Euler, Carta a Goldbach" utilizado por primera vez $\Gamma(x)$ y en el libro de Legendre "Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes" ambos $\Gamma(x)$ y $\psi(x)$ son usados.
¿No es lógico, si tienes una poligamma, tener una trigamma y digamma? Históricamente, el conteo ha ido al revés: 1,2, etc. 'Psi' tiene el mismo comienzo que 'poly' y si alguien no quisiera tener una función pi, un nombre que quizás ya se haya usado, psi parece como un segundo mejor.
La 'p' en 'psi' se pronuncia en griego y en la mayoría de los idiomas europeos. Además, gran parte de la escritura matemática se realiza a mano, y la letra digamma es bastante similar a la 'F', lo que podría resultar confuso.

François Ziegler · Answer 1

Creo que es porque esta función se usó y se denominó "psi", mucho antes de que obtuviera un nombre.

De hecho, parece $(\log\circ\,\Pi)'$ y $(\log\circ\,\Gamma)'$ aparecen por primera vez en Euler ( 1755 , pp. 797-801 ; 1769 , p. 17 ), resp. Legendre ( 1810, p. 502 ), sin nombre ni notación especial. Encuestas como Brunel ( 1886 , p. 58 ; 1899 , p. 162 ) o Jensen ( 1916, p. 140 ) coinciden en que se denotan $\varPsi$ según Gauss ( 1813, p. 34 ), resp. $\psi$ después de - no está claro quién . (Clausen ( 1858, p. 169 ) o Bertrand ( 1870 , p. 252 ) podrían ser ejemplos tempranos). En cualquier caso, todavía no tienen nombre.

En cambio, como se aprende en Pearson ( 1922 , p. viii ), Davis ( 1933 , p. 277 ; 1935 , p. 9 ; 1935, p. 243 ), o Jordan ( 1939 , p. 58 ), el nombre “digamma ” y notación $\digamma$ para $\varPsi$ surgió por primera vez en la p. 5 de

Pairman, Eleanor , Tablas de las funciones digamma y trigamma. (Tractos para computadoras, editado por Karl Pearson, Nr. 1.) , Cambridge: University Press, 19 S (1919). ZBL47.0510.15 :

En resumen, creo que Pairman ganó su apuesta para nombrar la función aún sin nombre, pero no logró desplazar la notación "psi" existente. (Los únicos adoptantes que pude encontrar son Jeffreys & Jeffreys ( 1946 , §15.04 ).)

Nota añadida: Por otro lado, Legendre en sus Exercices ( 1811, p. 19 ) dividió las integrales elípticas en 3 tipos para llamarlos Nome, Epinome, Paranome :

Ϝ = \int \frac{d φ}{Δ}, mi = \int Δ d φ, Π = \int \frac{d φ}{(1 + norte pecado^{2} φ) Δ}

$Ϝ=\int\frac{d\varphi}{\Delta},\qquad \mathrm E = \int\Delta\,d\varphi,\qquad \Pi= \int\frac{d\varphi}{(1+n\sin{\!}^2\varphi)\Delta}$ dónde

Δ = \sqrt{1 - c^{2} \sin^{2} φ}

$\Delta=\sqrt{1-c^2\sin{\!}^2\varphi}$ . Cuando estas palabras no prevalecieron, Verhulst ( 1841, p. v ) justificó un intento de renombrarlas digamma, epsilon, kappa (notación

d i g

$\mathrm{dig}$ ,

e p s

$\mathrm{eps}$ ,

k a p

$\mathrm{kap}$ ) con

1º La letra Ϝ, utilizada por Legendre para denotar la función $\int\frac{d\varphi}\Delta$ , lleva el nombre griego δίγαμμα .

$Ϝ ϝ 𝟊 𝟋$ $\Huge\style{font-family:Arial}{\text{Ϝ ϝ 𝟊 𝟋}}$

Una respuesta terriblemente investigada y sumamente documentada.
@ElementsinSpace Gracias. Sería interesante responder a la pregunta que quedó abierta en " no está claro quién ". (No puedo entender lo que Brunel y Jensen dicen allí).
¿Cuál es el problema con esos párrafos en Brunel y Jensen? Según tengo entendido, solo recopilan, como referencia, qué símbolos han sido utilizados para esta función por varios autores (incluido $\varphi$ de Legendre y minúsculas $\psi$ por Cauchy).
@TorstenSchoeneberg El problema es que en realidad no veo todos esos $\psi$ 's en " Cauchy , Gudermann y la mayoría de los autores desde entonces".

nwr · Answer 2

Según la página francesa de wikipedia Fonction digamma , fue James Stirling (1730) quien introdujo y estudió por primera vez la función digamma, denotándola con la letra griega digamma (en mayúsculas). $\digamma$ . Sin embargo, esta afirmación está marcada como que requiere una cita. Después de señalar su estudio posterior de Legendre, Poisson y Gauss alrededor de 1810, el artículo simplemente dice "Elle est désormais le plus souvent notée par la lettre $\psi$ (minúscula psi)" - "Ahora se denota más a menudo con la letra $\psi$ ".

Después de que se introdujeron las funciones gamma y digamma, se generalizaron como la secuencia completa de funciones poligamma. En el contexto de las funciones poligamma, obviamente es deseable tener una sola denotación funcional, es decir,

ψ^{(norte)} (z) := \frac{d^{metro + 1}}{d z^{(metro + 1)}} en Γ (z)

$\psi^{(n)}(z) := \frac{d^{m+1}}{dz^{(m+1)}} \text{ ln } \Gamma (z)$

dónde $\psi^{(0)}$ denota la función digamma, $\psi^{(1)}$ la función trigamma, etc... En otras palabras, en el contexto de la secuencia de funciones poligamma, no hay razón para que la función digamma tenga una designación especial.

Si no está claro por qué se eligió psi , pero parece razonable suponer que es por eso que el especial $\digamma$ La designación Digamma introducida por Stirling dejó de usarse. Era simplemente una cuestión de elegancia notacional en el caso general.

La página de Wikipedia en cuestión dice: [réf. souhaitée]! Lo más cercano que puedo encontrar a tal fuente es la mención en Nielsen ( 1906 , p. 17 ) de que Stirling estudió $\beta(x)=\frac12\left(\psi\left(\frac{x+1}2\right)-\psi\left(\frac{x}2\right)\right)$ en ( 1730 ). Sin embargo, una mirada allí sugiere que no tenía ni un nombre ni un símbolo para esa función.
@FrancoisZiegler Gracias por recordarme mi omisión aquí. He editado mi respuesta para señalar el requisito de una cita. Posiblemente Nielsen esté usando el estándar de entonces $\psi$ denotación en lugar de lo que establece el artículo es el uso de Stirling de $\digamma$ .

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$Ϝ ϝ 𝟊 𝟋$ $\Huge\style{font-family:Arial}{\text{Ϝ ϝ 𝟊 𝟋}}$

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