¿Cuándo fue el primer uso registrado del subíndice en matemáticas para representar el índice?

Buscando en Mathsym , encuentro:

$\bullet \;$Uso de$\;{}^1a,\;{}^2a,\;{}^3a$en Laplace, 1772.
Histoire de l'Académie royale des sciences , p. 294
No tuvo éxito.

$\bullet \;$Luego Cauchy, 1815, con subíndices.
Œuvres complètes d'Augustin Cauchy, Serie 2, tomo 1 , p. 130

Hay un pasaje interesante en

DODGSON, Charles Lutwidge. Un tratado elemental sobre determinantes: con su aplicación a ecuaciones lineales simultáneas y geometría algebraica. vol. 13. Macmillan y Compañía, 1867:

Las nuevas palabras y símbolos son siempre una adición muy desagradable a una Ciencia, especialmente a una que ya está cargada con un enorme vocabulario, sin embargo, creo que las Definiciones dadas de ellos justificarán su introducción, como la única forma de evitar tediosas perífrasis. Los símbolos empleados para representar los elementos individuales de un Determinante requieren quizás unas palabras de disculpa, y sería bueno enumerar los que ya están en uso y señalar cuáles parecen ser sus principales defectos. Podemos comenzar con

, donde el cambio de letra indica un cambio de columna, y el cambio de subíndice un cambio de fila. Ahora bien, las propiedades de los Determinantes, relativas a las columnas, siendo siempre convertibles en propiedades relativas a las filas, y viceversa, era una objeción suficiente a este sistema de notación, que representaba cosas claramente análogas por métodos tan diferentes, y fue reemplazado apropiadamente. por la notación introducida por Leibnitz,

, tanto de columna como de fila, se denotan por igual mediante subíndices. Pero parece una objeción fatal a este sistema que la mayor parte del espacio esté ocupado por un número de aes, que son totalmente superfluas, mientras que la única parte importante de la notación se reduce a subíndices diminutos, igualmente difíciles para el escritor y el lector. Fue casi una mejora obvia en este sistema elevar los subíndices a la línea y omitir las a por completo, como sugirió Baltzer, así:

, y este sistema, aunque tedioso para la escritura, podría servir muy bien, si no fuera por su riesgo de ser confundido con la notación, común en Geometría Algebraica Plana, por la cual$(1,1)$denota el Punto$x=1,\ y=1$. El símbolo

, que me he atrevido a sugerir como enmienda a este último, se encontrará, tengo grandes esperanzas, suficientemente simple, clara y fácil de escribir. He girado el símbolo hacia la izquierda, para evitar toda posibilidad de confusión con$\int$, el símbolo de la integración.

Editar

La referencia a las matemáticas ocultas en Alicia en el país de las maravillas se debe ya que es donde aprendí sobre ese libro de matemáticas publicado.

Según este artículo, Frege lo usó en 1879:

Aunque también te puede interesar este artículo que dice que Georg Cantor usó subíndices en su notación de números cardinales, y nació en 1845.

Si bien esta es solo mi opinión, sospecho que son mucho más antiguos debido al uso de símbolos para variar las letras en muchos idiomas y variaciones de caracteres en culturas anteriores; sin embargo, no puedo encontrar una fuente para esto.

Hermann Grassmann usó subíndices en su Lineale Ausdehnungslehre de 1844. Por ejemplo, en la página 71 establece un sistema de$n$ecuaciones lineales en$n$incógnitas en el formulario

La Historia de las notaciones matemáticas de Cajori , que usted menciona, también describe el uso de subíndices para los términos de la serie de Taylor por parte de William Emerson en Método de incrementos (1763), que se presentan en la sección "Notación" en la página 2.

De hecho, puedes ver esto en Google Books: The Method of Increments .

Los comentarios anteriores se han centrado en la notación secuencial utilizada en la evaluación matricial, o la expansión de determinantes, en particular. Hay un hilo que parece rastrear la historia colectiva sobre el uso de subíndices, pero los aspectos clave relacionados con las fechas parecen esquivos. Esto es por una buena razón: el acceso a materiales originales es raro. No obstante, podemos extraer de los escritos de otros alguna información sobre las circunstancias y las primeras fechas en que se usaron los subíndices por primera vez. ¿Cuándo, exactamente, fue el primer uso del subíndice como índice?

De los comentarios anteriores, g.kov menciona el comentario de Dodgson señalando que Leibnitz introdujo la notación que usamos actualmente. Sin embargo, Dodgson no da ninguna fecha para establecer cuándo introdujo Leibnitz esta notación. Sin embargo, Paul H. Hanus da una pista valiosa en An Elementary Treatise on the Theory of Determinants, publicado en 1886 por Ginn and Company, Boston. Hanus menciona en el Capítulo 1, Nociones Preliminares y Definiciones, Artículo 1, Descubrimiento de Determinantes, lo siguiente:

En una carta fechada el 28 de abril de 1693, Leibnitz comunica su descubrimiento a L'Hospital; y luego, en otra carta, expresa la convicción de que las funciones desarrollarán propiedades notables y muy importantes, - convicción que el tiempo ha verificado abundantemente. Leibnitz, sin embargo, nunca siguió el tema por sí mismo, y su descubrimiento permaneció inactivo hasta mediados del siglo XVIII.

Hanus continúa diciendo que en 1750, Gabriel Cramer redescubrió los determinantes mientras trabajaba en el análisis de curvas, donde Cramer tuvo que resolver conjuntos de ecuaciones lineales y, naturalmente, encontró las mismas funciones que habían atraído la atención de Leibnitz. Hanus afirma además en el Capítulo 1, artículos 2 a 7, Determinantes producidos al eliminar las incógnitas de un sistema de ecuaciones simultáneas, que la notación es atribuible a Laplace, a saber:

...los términos en que aparecen los subíndices en su orden natural son positivos, mientras que en los términos negativos hay una inversión del orden natural en los subíndices... Se ha convenido en denotarlos, siguiendo a Laplace, escribiendo el letras involucradas en sucesión regular, afectando cada una con los subíndices en orden, y encerrando entre paréntesis toda la expresión, así,

Este es, por supuesto, un determinante de segundo orden, cuya primera parte, expresada en notación actual o moderna, aparecería como

Este resultado general se conoce como expansión de Laplace, como se indica en CR Wylie, Jr, Advanced Engineering Mathematics, Second Edition, McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1960.