¿El potencial eléctrico es siempre continuo?

En electromagnetismo, decimos que cualquier campo eléctrico conservativo mi → ( r → ) está asociado a un potencial escalar V ( r → ) tal que mi → ( r → ) = − ∇ V ( r → ) . Si el campo eléctrico es continuo, el potencial eléctrico respectivo debe ser diferenciable porque, de lo contrario, su gradiente no podría calcularse en todas partes.

Sin embargo, hay algunos casos en los que el campo eléctrico es discontinuo, lo que conduce a un potencial eléctrico no diferenciable. Este último es, sin embargo, todavía continuo.

¿Por qué es esto? ¿Por qué incluso cuando el campo eléctrico es discontinuo, el potencial eléctrico no lo es? ¿ El potencial eléctrico debe ser siempre continuo en todas partes? Un enfoque matemático (es decir, no sólo una visión cualitativa) es lo que estoy buscando.

Dices que el potencial “debe ser diferenciable” y también que en algunos casos es “no diferenciable”.
@ G.Smith Quise decir que debe ser diferenciable si el campo eléctrico es continuo. Editaré el OP.

Respuestas (1)

No. Por ejemplo, el potencial de una carga puntual es discontinuo en la ubicación de la carga puntual, donde el potencial se vuelve infinito.

Dado que todas las cargas en la naturaleza parecen ser cargas puntuales (partículas elementales como electrones y quarks), el potencial eléctrico siempre tiene discontinuidades en alguna parte. Cuando trabajamos con distribuciones de carga continuas, simplemente estamos usando una aproximación que promedia muchas cargas puntuales y difumina las discontinuidades en su densidad de carga, potencial, campo, densidad de energía de campo, etc.

¿Y la primera pregunta? "¿Por qué incluso cuando el campo eléctrico es discontinuo, el potencial eléctrico no lo es?"
Eso no es cierto. En el caso de la carga puntual que mencioné, tanto el campo como el potencial son discontinuos.
¿No es infinito el campo eléctrico en ese punto? Lo que quiero entender es por qué el potencial eléctrico es continuo cuando el campo eléctrico muestra discontinuidades finitas.
El cambio de potencial entre dos puntos es la integral de línea del campo entre esos puntos. Supongamos que el campo tiene una discontinuidad finita en alguna parte. toma dos puntos ϵ lejos de la discontinuidad y calcular la integral de línea, que tendrá dos partes finitas. Como ϵ → 0 , esta integral de línea tiende a cero, por lo que el cambio de potencial a lo largo de la discontinuidad finita es cero, por lo que el potencial es continuo allí.
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