Posible paradoja relacionada con la aceleración, la velocidad y el trabajo

Question

Posible paradoja relacionada con la aceleración, la velocidad y el trabajo

RayDansh

Recientemente encontré una pregunta que me hizo pensar en esta "paradoja":

Imagina la siguiente situación:

Hay dos fuerzas: Fuerza 1 y Fuerza 2. Aceleran una masa $m$ de la misma velocidad inicial a la misma velocidad final en la misma cantidad de tiempo, pero como puede ver en el gráfico, cuando se comparan en los mismos instantes de tiempo, los dos procesos tienen aceleraciones diferentes.

¿Cómo se compara el trabajo realizado por cada proceso?

Es fácil ver que el trabajo realizado por ambas fuerzas debe ser el mismo porque el cambio de energía cinética es igual, lo cual es correcto.

Sin embargo, el trabajo también se puede escribir como $Fd$ . Ahora la segunda ley de Newton dice $F=ma$ , entonces $W=mad$ .

Del gráfico, parece que las aceleraciones promedio son iguales para ambas fuerzas, ya que dan como resultado el mismo cambio de velocidad en el mismo intervalo de tiempo. Pero también está claro que Force 1 da como resultado un mayor desplazamiento (área bajo un gráfico de velocidad-tiempo). Por lo tanto, ¿no debería la Fuerza 1 hacer más trabajo?

Tengo una vaga idea de por qué el primer razonamiento fue correcto y el segundo incorrecto, lo que tiene que ver con las aceleraciones promedio frente a las aceleraciones instantáneas, pero ¿alguien puede darme una explicación definitiva de por qué el trabajo realizado para ambos procesos es el mismo? ?

DanielSank

¿Has aprendido cálculo?

knzhou

el trabajo no es

F d

$F d$ , es

\int F d x

$\int F \, dx$ . Ha demostrado que los promedios temporales de las dos fuerzas son iguales, pero lo que importa para el trabajo es el promedio espacial .

RayDansh

@knzhou Así que la diferencia entre

\int F (x) d x

$\int F(x) dx$ y

\int F (t) d t

$\int F(t) dt$ ?

knzhou

¡Sí! De hecho, las dos fuerzas tienen el mismo

\int F d x

$\int F \, dx$ y lo mismo

\int F d t

$\int F \, dt$ , aunque no tienen el mismo

\int d x

$\int \, dx$ .

RayDansh

Bien, creo que ahora entiendo, ¡gracias @knzhou! (Y sí, estoy tomando AP Calc ahora mismo)

biofísico

¿Es este un problema 1D?

RayDansh

@AaronStevens Sí.

Respuestas (3)

Posible paradoja relacionada con la aceleración, la velocidad y el trabajo

el trabajo no es $F d$ , es $\int F \, dx$ . Ha demostrado que los promedios temporales de las dos fuerzas son iguales, pero lo que importa para el trabajo es el promedio espacial .
@knzhou Así que la diferencia entre $\int F(x) dx$ y $\int F(t) dt$ ?
¡Sí! De hecho, las dos fuerzas tienen el mismo $\int F \, dx$ y lo mismo $\int F \, dt$ , aunque no tienen el mismo $\int \, dx$ .
Bien, creo que ahora entiendo, ¡gracias @knzhou! (Y sí, estoy tomando AP Calc ahora mismo)

biofísico · Answer 1

Los comentarios parecen responder cualitativamente a su pregunta. Veamos un ejemplo específico. Probablemente haya una manera más elegante de hacer esto, pero usemos la fuerza bruta.

Digamos

v_{2} (t) = b t

$v_2(t)=bt$ y

v_{1} (t) = b t (2 - t)

$v_1(t)=bt(2-t)$ entonces tenemos

v_{1} (0) = v_{2} (0) = 0

$v_1(0)=v_2(0)=0$ y

v_{1} (1) = v_{2} (1) = b

$v_1(1)=v_2(1)=b$ similar a lo que tienes en tu foto.

Derivando con el tiempo y aplicando la segunda ley de Newton llegamos a

F_{2} (t) = metro b

$F_2(t)=mb$ y

F_{1} (t) = 2 metro b (1 - t)

$F_1(t)=2mb(1-t)$

Ahora, la definición general de trabajo en una dimensión está dada por

W = \int F d X

$W=\int F\ \text d x$ pero como se nos da la fuerza en función del tiempo podemos realizar un cambio de variables para llegar a

W = \int F v d t

$W=\int Fv\ \text d t$

Aplicando esto obtenemos

W_{2} = \int_{0}^{1} metro b^{2} t d t = \frac{1}{2} metro b^{2}

$W_2=\int_0^1mb^2t\ \text d t=\frac12mb^2$ y

W_{1} = \int_{0}^{1} (2 metro b (1 - t)) (b t (2 - t)) d t = 2 metro b^{2} \int_{0}^{1} (t^{3} - 3 t^{2} + 2 t) d t = \frac{1}{2} metro b^{2}

$W_1=\int_0^1(2mb(1-t))(bt(2-t))\ \text d t=2mb^2\int_0^1(t^3-3t^2+2t)\ \text d t=\frac12mb^2$ entonces vemos que

W_{1} = W_{2}

$W_1=W_2$

^{*}

$^*$

Del gráfico, parece que las aceleraciones promedio son iguales para ambas fuerzas, ya que dan como resultado el mismo cambio de velocidad en el mismo intervalo de tiempo. Pero también está claro que Force 1 da como resultado un mayor desplazamiento (área bajo un gráfico de velocidad-tiempo). Por lo tanto, ¿no debería la Fuerza 1 hacer más trabajo?

Tienes razón al decir que el primer objeto tendrá un desplazamiento mayor, pero también debes observar las fuerzas, ya que $W=\int F\ \text d x$ . $F_2$ es constante en todo el intervalo, mientras que $F_1$ empieza a $2F_1$ y termina en $0$ . El trabajo realizado no solo depende del desplazamiento, también depende del valor de la fuerza durante este desplazamiento.

$^*$ Este es el resultado de algo más general:

W = \int F v d t = \int metro \frac{d v}{d t} v d t = \int metro v d v = \frac{1}{2} metro (v_{F}^{2} - v_{0}^{2}) = Δ k

$W=\int Fv\ \text d t=\int m\frac{\text d v}{\text d t}v\ \text d t=\int mv\ \text dv=\frac12m(v_f^2-v_0^2)=\Delta K$

Entonces vemos que el trabajo realizado solo depende de las velocidades inicial y final, independientemente del tiempo que tarde en ocurrir esta progresión.

seth weinstein · Answer 2

El problema con lo que está haciendo es que no tiene en cuenta la aceleración tanto positiva como negativa que ocurre en el caso 1. Para llegar al pico de esa curva, tuvo que acelerarse más que la línea y, posteriormente, aceleró la otra. dirección para dar cuenta de ello. Sí, en ambos casos la aceleración media es la misma, pero la aceleración real para realizar el movimiento de la figura 1 sería mayor seguro.

Editar: Ahh, el dibujo fue un poco divertido, sin embargo, veo a lo que te refieres allí, la curva sube más rápido y luego disminuye. Lo mismo sigue siendo cierto, y es fácil perderse con las ecuaciones y las matemáticas, así que hablemos de la realidad. Si dos naves espaciales (cliché, lo sé) se movieran una al lado de la otra como describiste, sus velocidades son constantes a menos que algo las acelere. Entonces, si en la instancia inicial se están moviendo a la misma velocidad, y uno de ellos está acelerado, continuará moviéndose más rápido hasta que algo lo acelere en la otra dirección. Esto resulta en más trabajo. Este gráfico podría modificarse para mostrar esto asumiendo el marco de referencia de un observador. Lo que significa que su velocidad siempre es cero, por lo que la línea 0 en realidad sería solo la línea que dibujó para su velocidad creciente.

Ojalá lo rompieras también, ¡eso sería más divertido!

La aceleración es positiva todo el tiempo para ambos casos.
Acabo de actualizar mi respuesta para que sea un poco más claro para dar cuenta de eso.
Debe editar su respuesta para que sea una respuesta clara. Si algo está mal, simplemente deshazte de él. Hay un historial de edición disponible para aquellos que estén interesados.

factura vatios · Answer 3

Otra forma de ver esto. Tiene razón al decir que el trabajo realizado por cada proceso es igual, ya que los dos procesos producen el mismo cambio en la energía cinética final. También tiene razón al pensar que la fuerza requerida para mover la partícula sobre la trayectoria curva es mayor que la fuerza requerida para mover la partícula a lo largo de la trayectoria recta. Entonces, ¿por qué la fuerza de la trayectoria curva no hace más trabajo? Es porque el trabajo está realmente definido por

$W=\int \overset {\rightarrow } {F}\cdot \, d\overset {\rightarrow } {x}$

El producto escalar del elemento fuerza y posición significa que solo la fuerza paralela al movimiento de la partícula contribuye al trabajo. En la trayectoria curva también hay una componente de fuerza perpendicular al movimiento que provoca el cambio de dirección de la partícula. Esta componente extra perpendicular de la fuerza no realiza trabajo. Por cierto, puedes llevar las dos partículas al mismo lugar en tiempos iguales, o con velocidades iguales, pero no ambas.

Este es un problema 1D. Si te refieres a que la curva es la gráfica, la gráfica es velocidad versus tiempo, no y versus x
@AaronStevens: Veo el gráfico, pero en ninguna parte de la pregunta dice que las dos partículas siguen el mismo camino. Como digo, mi respuesta es otra forma de verlo.
Es confuso porque si estamos hablando de un sistema que no es 1D, entonces tu conversación sobre las fuerzas que actúan perpendicularmente a la trayectoria del objeto no funciona y no cambia la magnitud de la velocidad. Por lo tanto, el gráfico solo muestra lo que sucede debido a la fuerza paralela a la trayectoria, por lo que bien podría ser un problema 1D
@AaronStevens: Bueno, si no asumimos un sistema 1-d, y no había ninguna razón para asumirlo, entonces todo lo que dije es absolutamente correcto. Me pareció que la respuesta a un sistema unidimensional era demasiado obvia para ser lo que él quería decir, especialmente porque estaba hablando de una fuerza mayor y estaba confundido acerca de que esa fuerza no representaba más trabajo. Pero si estaba hablando de que ambas fuerzas seguían la misma línea, entonces supongo que respondí a un problema diferente.
Supongo que es un sistema 1D porque si tenemos un gráfico de velocidad frente al tiempo para un sistema que no es 1D, solo estamos graficando la magnitud de la velocidad y no tenemos en cuenta la dirección de la velocidad. Si solo observamos el trabajo realizado sobre el objeto en función de la magnitud de la velocidad, entonces solo nos interesa la componente de la fuerza paralela a la trayectoria del objeto, ya que cualquier componente de fuerza perpendicular a la trayectoria no hará nada. trabajo, y por lo tanto no hará una diferencia en el gráfico. Por lo tanto, el problema se convierte esencialmente en un problema 1D de todos modos.

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¿Cómo es que un objeto en el espacio que viaja a velocidad constante tiene una fuerza neta de cero actuando sobre él?

Derivando F=maF=maF = ma - Segunda ley de movimiento de Newton

¿Qué suposiciones tendría que hacer para probar rigurosamente que la potencia es igual a la fuerza salpicada de velocidad, P=F⋅vP=F⋅vP=\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}?

¿Qué está cambiando físicamente de velocidad o aceleración a fuerza y sus componentes vectoriales?

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En términos de estar en un ascensor, velocidad, aceleración y fuerzas, ¿cómo se relacionan?

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