¿Qué es este carácter ξξ\xi en el contexto del pozo infinito?

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¿Qué es este carácter ξξ\xi en el contexto del pozo infinito?

Tsangarés

esta podría ser una pregunta que no tiene respuesta. Estoy calculando la fórmula de las energías para las funciones de onda antisimétricas del cuadrado infinito. Necesito determinar el valor de $\xi_0$ lo que produce un estado ligado. Estoy luchando por entender lo que $\xi_0$ es.

Por apuntes y preguntándole a mi maestra, me dice que $\xi = a\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$ ; dónde $m$ es masa, $E$ es la energía total de la partícula, $\hbar$ es tablones constante, y $a$ es la longitud o el ancho del pozo cuadrado.

Pregunta: ¿Qué hace $\xi$ ¿representar?

Contexto a $\xi$ : Parece un valor arbitrario. Aunque, del contexto del problema del pozo cuadrado, puedo encontrar algo similar. Tome la ecuación de Scrodinger independiente del tiempo y establezca $U(x)=0$ , porque no tiene energía potencial mientras está dentro de las paredes del pozo.

- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2} ψ (X)}{d X^{2}} + tu (X) ψ (X) = mi \frac{d ψ (X)}{d t} [tu (X) = 0] - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2} ψ (X)}{d X^{2}} = mi \frac{d ψ (X)}{d t}

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + U(x)\psi(x)= E\frac{d\psi(x)}{dt}\\ [U(x) = 0]\\ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\frac{d\psi(x)}{dt}$ Luego divide ambos lados por

- \frac{ℏ^{2}}{2 m}

$-\frac{\hbar^2}{2m}$ .

\frac{d^{2} ψ (X)}{2 metro} = - \frac{2 metro mi}{ℏ^{2}} \frac{d ψ (X)}{d t}

$\frac{d^2\psi(x)}{2m}=-\frac{2mE}{\hbar^2}\frac{d\psi(x)}{dt}$ Por conveniencia, haga la definición

k^{2} \equiv \frac{2 m E}{ℏ^{2}}

$k^2\equiv \frac{2mE}{\hbar^2}$ . Entonces

a k = ξ

$ak = \xi$ .

La solución antisummétrica se parece a la siguiente, dentro del pozo.

ψ_{norte} (X) = \sqrt{\frac{2}{L}} s i norte (\frac{norte π X}{a}); 0 < X < a

$\psi_n(x)=\sqrt{\frac{2}{L}}sin(\frac{n\pi x}{a});\qquad0<x<a$

n

$n$ es un número entero. Los estados de energía cuantificados que se forman porque en

ψ (0) = ψ (a) = 0

$\psi(0)=\psi(a)=0$ y

ψ

$\psi$ tiene que ser normalizado produce

{mi}_{norte} = \frac{{norte}^{2} π^{2} ℏ^{2}}{2 metro a^{2}}

$E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}$

Respuestas (2)

¿Qué es este carácter ξξ\xi en el contexto del pozo infinito?

knzhou · Answer 1

La longitud de onda de De Broglie de una partícula cuántica libre es

λ = \frac{h}{pag} = \frac{h}{\sqrt{2 metro mi}} .

$\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mE}}.$ Por lo tanto, hasta un factor constante, solo tenemos

ξ = \frac{a}{λ} .

$\xi = \frac{a}{\lambda}.$ Eso es,

ξ

$\xi$ es una medida adimensional de cuán ancho es el pozo, en comparación con la longitud de onda de De Broglie de la partícula.

Es útil para trabajar con $\xi$ en lugar de $a$ porque nos permite "factorizar" un montón de constantes que no queremos llevar, y la respuesta final será algo agradable como " $\xi = 1$ "en lugar de algo desordenado como" $a = 4.7239 \times 10^{-14} \text{ meters}$ ". Formulando la respuesta únicamente en términos de $\xi$ también le dirá automáticamente cómo el valor de $a$ debe cambiar como otros parámetros, como $m$ y $E$ , cambia también.

Así que si $a,m$ es fijo/dado, entonces $\xi$ se convierte en una medida adimensional de la energía de una partícula en comparación con el tamaño del pozo?
@Tsangares Más o menos. Es un poco incómodo decir eso porque es proporcional a $\sqrt{E}$ , no $E$ , pero si. Mide qué tan grande es la energía, comparando la longitud de onda de De Broglie resultante con la escala de longitud del pozo.

librecharly · Answer 2

Sus funciones propias de onda sinusoidal dadas son antisimétricas en el pozo solo para $n$ es par . El parámetro $\xi = a\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}=ka$ es igual al producto del vector de onda k y el ancho del pozo a, que es el argumento adimensional de la función de onda sinusoidal. Las condiciones de contorno del pozo restringen los valores de $\xi$ a $\xi_n =ka=n\pi x$ con las soluciones simétricas de $n=1,3,5,..$ y las soluciones antisimétricas para $n=2,4,6,...$ . Todas estas funciones propias de seno son estados ligados .

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