Esta puede ser una pregunta simple. Puedo demostrar que este es el caso matemáticamente, pero no puedo explicar por qué sucede. Fue solo cuando me preguntaron por qué sucede esto cuando me di cuenta de que no podía explicarlo intuitivamente/físicamente.
Así que supongo que debe haber alguna forma en la que la ecuación de Klein-Gordan pueda recuperarse de la ecuación de Dirac, al igual que muchas cosas en física. Pero ¿por qué esto debe hacerse multiplicando por el complejo conjugado y no alguna otra operación?
La razon es la siguiente.
La ecuación escalar de Klein-Gordon es (y tiene que ser) una ecuación de segundo orden porque la caja
Por relatividad especial, las ecuaciones de onda deben imponer la masa invariante correcta. Entonces las olas de De Broglie
Sin embargo, la ecuación de Dirac es más fuerte porque restringe las primeras derivadas; la ecuación de Klein-Gordon le permite elegir la función de onda y su(s) primera(s) derivada(s) y solo restringe las segundas derivadas.
En la base del impulso, la ecuación de Dirac dice
Así que la condición de "Klein-Gordon" actuando es simplemente equivalente a
En otras palabras más físicas, la ecuación de Klein-Gordon permite que el vector de energía positiva así como , su opuesto de energía negativa. Sin embargo, , la ecuación de Dirac, solo permite uno de los signos de la energía y este signo está correlacionado con la polarización arriba/abajo del electrón/positrón.
La ecuación de Dirac "otra" o "revertida", , impone el signo opuesto de la energía en función de la polarización. Está claro que la ecuación de Klein-Gordon (que actúa sobre el espinor) a la que no le importa el signo de la energía equivale a decir que el signo de la energía es el que exige la ecuación de Dirac (en función de la polarización); o el signo contrario. El signo opuesto se obtiene con las soluciones de la ecuación de Dirac "revertida".
Entonces obedece a la ecuación de Klein-Gordon si y solo obedece a la ecuación de Dirac; o la ecuación de Dirac invertida; o si es una combinación de estos dos tipos de soluciones. Esto es matemáticamente equivalente a decir que la solución a la ecuación de Klein-Gordon es aniquilada por el producto del "operador de Dirac" y el "operador de Dirac invertido".
La inversión del operador de Dirac también está vinculada a algún tipo de conjugación compleja, más precisamente la conjugación de carga (C), porque el espinor conjugado con C simplemente obedece a la ecuación de Dirac invertida. Esto se puede verificar definiendo C con más cuidado y contando los signos.
Juan Rennie
fiberto