¿Coeficientes de Fourier en la solución general de la ecuación de Klein-Gordon Dirac?

Question

¿Coeficientes de Fourier en la solución general de la ecuación de Klein-Gordon Dirac?

Física
ecuación de dirac
teoría cuántica de campos
ecuación de klein-gordon

Jak

La solución más general a la ecuación de Klein-Gordon se escribe como

Φ (X) = \int d k^{3} \frac{1}{(2 π)^{3} 2 ω_{k}} (a (k) {mi}^{- i (k X)} + a^{†} (k) {mi}^{i (k X)})

$\begin{equation} \Phi(x)= \int \mathrm{d }k^3 \frac{1}{(2\pi)^3 2\omega_k} \left( a(k){\mathrm{e }}^{ -i(k x)} + a^\dagger(k) {\mathrm{e }}^{ i(kx)}\right) \end{equation}$

donde supongo que se agregó la segunda parte para que la solución sea real, es decir $c+c^\dagger= 2Re(c)$ , ¿es esto correcto?

La solución general de la ecuación de Dirac se escribe

Ψ = \sum_{r} \sqrt{\frac{metro}{(2 π)^{3}}} \int \frac{d^{3} pag}{\sqrt{w_{pag}}} (C_{r} (pag) {tu}_{r} (pag) {mi}^{- i pag X} + d_{r}^{†} (pag) v_{r} (pag) {mi}^{+ i pag X})

$\begin{equation} \Psi = \sum_r \sqrt{\frac{m}{(2\pi)^3}} \int \frac{ d^3p}{\sqrt{w_p}} \left(c_r(p) u_r(p) {\mathrm{e }}^{-ipx}+ d_r^\dagger (p) v_r(p) {\mathrm{e }}^{+ipx} \right) \end{equation}$

y a la ecuación adjunta de Dirac

\bar{Ψ} = \sum_{r} \sqrt{\frac{metro}{(2 π)^{3}}} \int \frac{d^{3} pag}{\sqrt{w_{pag}}} (C_{r}^{†} (pag) {\bar{tu}}_{r} (pag) {mi}^{+ i pag X} + d_{r} (pag) {\bar{v}}_{r} (pag) {mi}^{- i pag X})

$\begin{equation} \bar \Psi = \sum_r \sqrt{\frac{m}{(2\pi)^3}} \int \frac{ d^3p}{\sqrt{w_p}} \left(c_r^\dagger(p) \bar u_r(p) {\mathrm{e }}^{+ipx}+ d_r (p) \bar v_r(p) {\mathrm{e }}^{-ipx} \right) \end{equation}$ y me interesaría saber cómo se justifica en primer lugar la denominación de los coeficientes de Fourier. Sé que se interpretan en términos de crear y aniquilar partículas y antipartículas en QFT, pero ¿por qué nombramos los coeficientes aquí?

c

$c$ y

d^{†}

$d^\dagger$ y no por ejemplo

c

$c$ y

c^{†}

$c^\dagger$ para

Ψ

$\Psi$ , al igual que para el caso escalar?

Respuestas (1)

¿Coeficientes de Fourier en la solución general de la ecuación de Klein-Gordon Dirac?

BMS · Answer 1

BMS

No escribiste la solución general correcta de la ecuación de KG para un campo escalar complejo . Su $a^\dagger$ debiera ser $b^\dagger$ . Véase, por ejemplo, la Ec. 3-37 en este libro PDF de R. Klauber.

Ese libro también motiva que los operadores $a$ & $a^\dagger$ son operadores de destrucción y creación para partículas, mientras que $b$ y $b^\dagger$ son los mismos para las antipartículas correspondientes. Estos son esenciales para una teoría que describa nuestro mundo.

Además, si su solución $\Phi$ resuelve KG, también lo hace $\Phi^\dagger$ . Por lo general, se usan ambas soluciones en QFT relativista de espín cero.

Esperemos que esto aborde su pregunta de solución de la ecuación de Dirac.

Jak

Gracias por tu respuesta. Lo que escribí es, creo, la solución general para un campo escalar real. Un campo escalar complejo es equivalente a dos campos escalares reales y si se quiere considerar un solo campo escalar, se utiliza un campo escalar real. Tu respuesta me ayuda porque ahora entiendo, que la solución general tendría

a

$a$ y

b

$b$ en él, pero con la restricción de un campo escalar real el

b

$b$ no puede ser arbitrario pero debe ser

a^{†}

$a^\dagger$ . Sin embargo, todavía no estoy seguro, ¿por qué es

a

$a$ y

b^{†}

$b^\dagger$ y no

a

$a$ y

b

$b$ .Le echaré un vistazo al pdf

BMS

Comprensión retrospectiva. podrías llamarlo

a

$a$ y

b

$b$ en la solución, pero al final interpretarías

a

$a$ como operador de bajada y

b

$b$ como operador de elevación. Entonces tiene sentido llamar al coeficiente

b^{†}

$b^\dagger$ por consistencia. (Además, actualizaré mi respuesta para ser más específico sobre lo complejo frente a lo real).

Jak

Klauber simplemente establece: "... y una forma conjugada compleja para el coeficiente del último término anterior, es decir,

b^{†}

$b^\dagger$ , se usa porque resultará ventajoso más adelante". ¿Es esto porque en general simplemente tenemos

a

$a$ y

b

$b$ , pero si usamos esto, veremos, usando el conmutador de QFT que

b

$b$ crea antipartículas, mientras que

b^{†}

$b^\dagger$ destruye las antipartículas, lo que sería un poco confuso. Con la elección del segundo coeficiente a ser

b^{†}

$b^\dagger$ , te aseguramos que

b^{†}

$b^\dagger$ crea, al igual que

a^{†}

$a^\dagger$ ?!

BMS

Ese es mi entendimiento. (Es un buen libro para el autoaprendizaje de QFT).

Federico Tomás

Elegir

b^{†}

$b^\dagger$ como coeficiente de la solución de 1 partículas de energía negativa en lugar de

b

$b$ está relacionado con la interpretación de Feynman-Stueckelberg de las soluciones de energía negativa (-p) de la ecuación de KG- y Dirac. "La absorción de una partícula de 4-momentum

- p

$-p$ es equivalente a la emisión de una partícula de 4-momentum

p

$p$ ". De esta manera uno se deshace del problema de las soluciones de energía negativa. Para expresar la emisión el

b^{†}

$b^\dagger$ tiene que ser usado.

¿Coeficientes de Fourier en la solución general de la ecuación de Klein-Gordon Dirac?

Jak

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BMS

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