¿Por qué la constante de Coulomb tiene unidades?

Cuando se estudió originalmente la fuerza electrostática, la fuerza, la masa, la distancia y el tiempo se entendían bastante bien, pero la fuerza electrostática y la carga eléctrica eran nuevas y exóticas. En el sistema cgs, la carga se definió en relación con la fuerza electrostática resultante (se llama Franklin (Fr) una "unidad electrostática" (esu o) a veces un statCoulomb (statC)).

En ese sistema, expresamos la fuerza sobre una partícula cargada por otra como$F_E=\frac{q_1 q_2}{r^2}$donde la unidad de carga es el esu, la unidad de fuerza es la dina y la unidad de distancia es el centímetro. En el sistema MKS (ahora llamado SI), escribiríamos$F_E = k_e\frac{q_1 q_2}{r^2}$donde la unidad de carga es el culombio, la unidad de fuerza es el newton y la unidad de distancia el metro. Parecería que si las cosas son equivalentes, entonces$k_e$es de hecho solo un factor de conversión, pero las cosas definitivamente no son equivalentes.

Un poco de historia es probablemente útil en este punto. En 1873, cuando el sistema cgs se estandarizó por primera vez, finalmente hizo una clara distinción entre masa y fuerza . Antes de eso, era común expresar ambos en términos de la misma unidad, como la libra. Entonces, si lo piensas, la gente todavía dice cosas como "Peso 72 kg" en lugar de "Peso 705 N aquí en la superficie de la Tierra" y también dicen$1 \mathrm { kg} = 2.2\mathrm{ lb}$confundiendo masa y peso (la unidad imperial cgs de masa es en realidad la babosa).

Esto es importante, porque hay una analogía directa con el tema de las unidades de carga y con su pregunta sobre las unidades de$k_e$. El Franklin se define como "aquella carga que ejerce sobre una carga igual a una distancia de un centímetro en el vacío una fuerza de una dina". El valor de$k_e$se supone que es 1 y no tiene dimensiones en el sistema cgs.

En cgs, la unidad de carga, por lo tanto, ya tiene implícitamente este valor de$k_e$incorporado. Sin embargo, en las unidades SI, comenzaron con amperios y derivaron culombios de ese tiempo ($C=It$). Las unidades resultantes de$k_e$son el resultado de esa elección.

Entonces, aunque el fenómeno físico es el mismo, es la elección de las unidades lo que da$k_e$dimensión o no.

Consulte este documento para obtener quizás un poco más de detalles sobre cómo funciona esto en la práctica.

Los sistemas de unidades son, en cierto sentido, flexibles y opcionales.

La relación

$$\text{Electrostatic force twixt two point-like charges} \propto \frac{(\text{one charge})\times (\text{the other charge})}{(\text{distance between them})^2} \tag{1}$$

es un hecho experimental.

En SI, tenemos unidades para Fuerza, distancia y carga tales que (1) no es dimensionalmente consistente con una constante de proporcionalidad adimensional. Entonces,$k$debe tener dimensiones de$\frac{\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}^2}{\mathrm{C}^2}$además de tener un valor numérico.

Pero podríamos hacerlo de otra manera. Considere el "Statcoulomb" . En unidades gaussianas, la unidad de carga se define de tal manera que la ley de Coulomb tiene una constante unitaria adimensional de proporcionalidad.

$$F = \frac{q_1 \, q_2}{r^2} \,.$$ Esta es una forma perfectamente válida de hacer física. En esencia hemos doblado $\sqrt{k}$en el valor numérico de cada una de las cargas:

$$(\text{charge})(in\; \text{Statcoulombs}) \sim \sqrt{k} \, (\text{same charge})(in\; \text{Coulombs}) \,,$$

o

$$\sqrt{k} \,\text{Statcoulombs} \sim 1 \,\text{Coulombs} \,.$$

Eso hace que un Statcoulomb sea una unidad bastante divertida cuando se expresa en términos SI, pero entonces el Coulomb es una unidad bastante extraña expresada en términos guassianos. Cada sistema debe entenderse en su propio contexto.

Se han derramado muchas palabras argumentando que un conjunto de unidades es mejor que otro o viceversa.

En mi negocio (física de partículas) es común trabajar en unidades donde$c = \hbar = 1 \,(\text{dimensionless})\;.$Esto le da a la energía, la masa y el impulso las mismas unidades (distancia inversa, en realidad) y pierde muchas de las comprobaciones que ayudan a los jóvenes físicos a realizar un seguimiento de la diferencia entre estas cantidades, pero mantiene el garabato bajo y simplifica la forma de muchas ecuaciones. (Por cierto, los cosmólogos a menudo agregan$G = 1\,(\text{dimensionless})$a la mezcla

La moraleja de la historia es: 'No le des demasiada importancia a las unidades de "constantes", porque dependen del sistema de unidades que elijas'.

La fuerza es una cantidad vectorial definida matemáticamente como la tasa de cambio del impulso, es decir
$\vec F = \dfrac{d\vec p}{dt} \tag{1}$dónde$\vec p= m\vec v$en la mecánica clásica.
La unidad de fuerza en Si es "newton". Un "newton" es la cantidad de fuerza necesaria para acelerar un kilogramo de masa a razón de un metro por segundo al cuadrado. Podría hacer su propio conjunto de unidades diciendo: defino un newton como la fuerza requerida para acelerar 2 kg de masa a través de 1 m/s ^ 2, entonces tendrá que modificar la ecuación 1 como$\vec F=\dfrac{1}{2}m \vec a$En general, la segunda ley de Newton se puede establecer como$\vec F=k \ m\vec a$dónde$k$depende de las unidades de medida. También se podría decir$\vec F \propto d\vec p/dt$y$k$aparece como una constante de proporcionalidad. Cabe señalar aquí que '$k$' es una constante adimensional.
Sea nuestro sistema de unidades SI por simplicidad y la ecuación 1 sea válida. Medimos la fuerza con una escala de resorte
El resorte obedece la ley de Hooke que establece que la magnitud de la fuerza aplicada es directamente proporcional al desplazamiento del resorte, es decir$F=k X$dónde$x$es el desplazamiento y$k$es la constante de proporcionalidad. Esta vez$k$no es adimensional ¿por qué es así? es así porque la fuerza no se mide en metros se mide en newtons. Supongamos que el resorte está fabricado de tal manera que un desplazamiento de un metro representa un newton de fuerza, entonces$k$tendrá$1$magnitud. ¿Sería apropiado definir para definir un newton = un metro para hacer$k$adimensional? ¡NO! hacer esto hará que todas las demás ecuaciones que involucren '$F$' dimensionalmente incorrecto, por ejemplo$F=kma$aquí k tendrá que ser constante dimensional.
De manera similar, si define "un newton =$1 \text{Newton} = \frac{1}{1/1 \text{meter}^2 \cdot 1 \text{Coloumb}^2}$entonces$F=ma$habrá que cambiar a$F=\dfrac{s^2}{\text{Kg m}} \times {1/\text{meter}^2 \cdot \text{coloumb}^2} \times \text{mass} \times \text{acceleration}$

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En la ley de Coloumb la constante$k_e$tiene unidades y magnitud.
$1.$Tiene unidades para hacer la ecuación dimensionalmente correcta.
$2.$No lo es$1$en magnitud porque la magnitud de$\dfrac{q_1q_2}{r^2}$cuando$q_1$,$q_2$y$r$todos son uno se encuentra que la fuerza en newtons es$9\times 10^9$en magnitud tan$k$es dar este valor para una calibración adecuada.$k$puede verse como una constante de proporcionalidad o un factor de escala o una constante dimensional o todo.$k$La magnitud de es 9*10^9 solo porque definimos un newton como 1Kg m/s^2. Si dice 9 * 10 ^ 9 newtons = un dgp , entonces en el sistema dgp$k$alcanzará una magnitud.

Sí, su definición no es válida, falla solo en términos dimensionales.

Entonces, si K no es un factor de conversión ya que la definición anterior para un Newton no es válida y K no es solo un factor de escala, ya que tiene unidades, entonces, ¿qué es?

K es simplemente una constante, por ejemplo, observe la fórmula de la resistencia. Sabemos que:
1. La resistencia es directamente proporcional a la longitud del conductor.
2. La resistencia es inversamente proporcional al área de sección transversal del conductor.
Así concluimos que:$R \propto l/A$. Para quitar el signo de proporcionalidad usamos una constante, que equilibra la ecuación. La ecuación ahora se convierte en$R = \rho l/A$. Aquí$\rho$no es ni una escala ni un factor de conversión, es simplemente una constante. de la misma manera tenemos:$F \propto Q^2/R^2$Esto se resuelve usando la constante de culombios que ahora se representa como$\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$

Si es solo una constante de proporcionalidad para ajustar la magnitud, ¿por qué tiene unidades? ¿No debería ser una unidad menos constante?

Nadie dijo que la constante de proporcionalidad tiene que ser adimensional y/o sin unidades, tenemos constantes de proporcionalidad de todo tipo. Por ejemplo:
1.$\rho$llamada resistencia específica tiene tanto dimensiones como unidades.
2.$\mu$llamado coeficiente de fricción no tiene unidades ni dimensiones.
3.$\theta$llamado ángulo, este no es una constante de proporcionalidad pero puedes notar que no tiene dimensiones sino unidades.

Entonces k no es solo un factor de escala (ya que tiene unidades) y no es un factor de conversión ya que un Newton no se puede expresar como las otras unidades.

Newton se puede expresar como otras unidades con y sin escala, por ejemplo:
1.$1 N = 1 kg m s^{-2}$
2.$1 N = 10^5 dynes$

Entonces, si su unidad simplemente existe para que las cosas se cancelen "muy bien", ¿no hace que el análisis dimensional sea inútil ya que puede agregar constantes aleatorias y unidades para cancelar lo que quiera?

Ciertamente no hace que el análisis dimensional sea inútil. Se agregan constantes como la constante de Coulomb , la resistencia específica para eliminar el signo de proporcionalidad y para derivar ecuaciones a partir de fórmulas empíricas, no puede simplemente agregarlas caprichosamente donde quiera y cancelar unidades.
Realiza un análisis dimensional sobre una ecuación existente (no una fórmula empírica que establece la proporcionalidad en lugar de la equivalencia).

Mi pregunta no es sobre el significado de k. Se trata de sus unidades.

Sus unidades pueden ser varias dependiendo del sistema que uses, pero en SI usamos$N m^2 C^{-2}$, es dimensionalmente$[ML^3A^{-2}T^{-4}]$.

Además, de la historia de wikipedia de la ley de Coulomb se afirma que, de hecho, primero fue una ley empírica y luego se convirtió en una ecuación usando la constante de proporcionalidad.$k$

Finalmente, en 1785, el físico francés Charles-Augustin de Coulomb publicó sus primeros tres informes sobre electricidad y magnetismo donde enunció su ley. Esta publicación fue esencial para el desarrollo de la teoría del electromagnetismo.[12] Usó una balanza de torsión para estudiar las fuerzas de repulsión y atracción de partículas cargadas y determinó que la magnitud de la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.

Además de las unidades de longitud, tiempo y masa, el SI hace la definición de Ampère, la unidad de corriente. Se define a través de la fuerza de atracción entre dos cables paralelos. También define el Coulomb como$1\; C = 1\; A\cdot s$

Eso significa que para tres de las cuatro cantidades ($F,q,r$) que aparece en la ley de la fuerza de Coulomb

$$F = K\frac{q_1q_2}{r^2}$$ el SI había fijado sus unidades a priori. la unidad de $K$debe ajustarse para producir Newtons en el lado derecho. Entonces, $K$lleva la unidad de $\mathrm{Nm^2/C^2}$porque el SI ya ha definido una unidad de carga - el Coulomb. El valor numérico se fija esencialmente midiendo la fuerza de atracción entre cargas conocidas.

Compare esto con el caso del sistema de unidades gaussianas (cgs). No se hace una definición de carga a priori y$K = 1$es elegido _ De ello se deduce que la unidad de carga en el CGS-ESU (CGS - Unidades electrostáticas) se define como

$$[Q] = \left([F][r]^2\right)^{1/2}=\frac{\sqrt{g\cdot \mathrm{cm^3}}}{s}$$

y se llama Franklin (Fr) o Stat-Coulomb (statC).

Bueno, creo que esto se trata de las constantes ineludibles.

Las leyes experimentales representan la realidad, y esta realidad no depende de sistemas de unidades de medida; también es independiente de los cambios del sistema. Para explicar la realidad, utilizamos teorías físicas, que se basan en ecuaciones fundamentales; a menudo se expresan como proporción, como en

$$[F]\propto[m][a]$$

Esta es una relación entre magnitudes, no entre cantidades. Si quiero la relación cuantitativa, tengo que usar un sistema de unidades. Para lograr esto, es necesario introducir una constante

$$F= C ma$$

Bueno, puedes intentar hacer$C=1$, eligiendo un sistema de unidades adecuado. Esta constante a menudo se llama "factor de conversión" porque la usa para cambiar su sistema de unidades, pero su nombre propio es "constante de superflujo". Sin embargo, si intenta eliminar TODAS las constantes físicas eligiendo cierto sistema de unidades, encontrará que puede t. Hay algunas constantes que no puedes eliminar de las ecuaciones, no importa lo que hagas. Estas constantes son:

• Gravedad universal,$G$
• constante de Planck,$h$
• Velocidad de la luz en el vacío,$c$
• constante de Boltzmann,$k_B$
• número de avogadro,$N_A$
• y la permitividad del vacío,$\epsilon _0$

Su constante de Coulomb depende de esta última constante y de la permitividad del material que está utilizando (y otros factores adimensionales). Como puedes ver, todo esto son constantes ineludibles. Estas constantes no son un "factor de conversión" ya que todo está en el mismo sistema. Pero son necesarios para que las ecuaciones sean dimensionalmente correctas.

Puedes intentar buscar algún libro de Análisis Dimensional y teoría básica de la física: cómo se construyen los modelos físicos, la importancia de las ecuaciones dimensionales homogéneas, etc.

EDITAR: He dicho que "las constantes ineludibles no se pueden eliminar". Bueno, si usas unidades naturales, estas constantes se eliminan, pero encontrarás algunas constantes nuevas (longitud de Planck, masa de Planck...) por lo que, de hecho, al final, no puedes eliminar todas las constantes de todas las ecuaciones. , que es lo que quería decir.

Su definición cuando se simplifica es equivalente a:

$$1 \text{Newton} = \frac{1}{1/1 meter^2 * 1 Coloumb^2} = \frac{c^2}{m^2}$$

Esto solo es incorrecto porque el nombre de la unidad$Newton$ya está tomado, sin embargo, esto sería perfectamente válido:

$$1 \text{Your_unit_name} = \frac{c^2}{m^2}$$

En este caso$\text{Your_unit_name}$sería entonces unidad de fuerza en un sistema de unidades donde$k=1$al igual que el sistema de unidades Plank tiene$ħ=G=c=k_e=k_B=1$

Entonces el valor de$k$es el factor de conversión entre$\text{Newtons}$y$\text{Your_unit_names}$y se puede pensar en tener unidades$\frac{\text{Newtons}}{\text{Your_unit_names}}$que si su sustituto de la definición de$\text{Your_unit_names}$obtienes la forma familiar$N*m^2/C^2$

Respuesta corta : Sí, puede verse como un factor de conversión, pero el valor numérico dependerá de la elección de las unidades utilizadas.

Depende de las unidades que utilicemos. La ley de Coulomb suele estar dada por

$$F=k_e\frac{q_1q_2}{r^2}$$ donde uno debe usar tales unidades que las ecuaciones se mantienen por análisis dimensional.

Si tomamos por ejemplo$q_1$y$q_2$estar en culombios y$r^2$estar en metros entonces$k_e=8.987...\cdot10^9 \frac{Newton\cdot Meters^2}{Coulomb^2}$.

si tomamos$q_1$y$q_2$estar en microculombios y$r^2$estar en centimetros entonces$k_e=8.987...10^{+1} \frac{Newton\cdot centimeters^2}{microCoulomb^2}$. (Darse cuenta de$10^9$convertirse$10^{+1}$.)

Si tomamos algunas otras unidades, el valor numérico y sus dimensiones cambiarán a algo diferente.

¿Podemos realmente interpretarlo como un factor de conversión?

Si podemos. Tomaré un ejemplo más simple primero. Las ecuaciones más famosas de Einstein están dadas por$E=m\cdot c^2$dónde$m$es la masa,$E$es la energía y$c$es la velocidad de la luz. Aquí$c^2$es el factor de conversión que nos dice cuánta energía tenemos si alguien nos da$x$kg. o si tenemos$y$Joule podemos convertirlo en masa.

Tu pregunta es del mismo tipo. Dadas dos cargas y una distancia entre ellas, la ley de Coulomb te dice cómo ordenar las cantidades dadas (multiplica las cargas y divide por la distancia al cuadrado) y la constante de Coulomb te dice cómo convertir la respuesta que obtienes de [multiplicar las cargas y dividir por la distancia al cuadrado] a una fuerza.

Entonces uno calcula la cantidad$\frac{q_1q_2}{r^2}$, entonces$k_e$se utiliza para convertir esta cantidad a Newtons.