¿Por qué hay un factor de 4π4π4\pi en ciertas ecuaciones de fuerza?

Por ejemplo, si te refieres$k_e=\frac1{4\pi\epsilon_0}$, proviene de una comprensión natural de la "ley de Gauss" de la ley de Coulomb, donde el campo eléctrico se distribuye sobre la superficie de una esfera de área$4\pi r^2$.

$$F= \frac1{\epsilon_0}\frac1{4\pi r^2}q_1q_2$$

Esta es también la explicación de la$1/r^2$(y en otros campos clásicos), y también hay intentos de extender este tipo de razonamiento a los campos gravitatorios.

Si desea evitar factores de$\pi$en las ecuaciones más fundamentales como$\nabla . E = \rho / \epsilon_0$, tienes que aceptarlos donde pertenecen, por ejemplo en:$E = \frac{1}{\epsilon_0} \frac{Q}{4 \pi r^2}$.

Como comentaron otros, Newton no pudo poner un factor$4 \pi$en su ecuación de gravitación (estipuló$g = G \frac{M}{r^2}$, en vez de$g = G \frac{M}{4 \pi r^2}$) y como resultado tenemos que vivir con factores de$\pi$en la ley más fundamental de Gauss para la gravedad y, lo que es más importante, también en la teoría de la gravedad de Einstein.

La razón física de la aparición de un$4\pi$ en algún lugar de la teoría está la simetría esférica del problema y se discute más en otras respuestas. Aquí quiero citar un argumento interesante de las Lectures on Theoretical Physics Vol III de Arnold Sommerfeld, que tiene una sección dedicada a este tema.

Si quitas el$4\pi$de la ley de fuerza lo tendrás en la ecuación de Maxwell más fundamental:

$$\nabla.\mathbf{D}=4\pi\rho$$ y también distorsionará la densidad de energía en: $$W=\frac{1}{8\pi}\mathbf{E}.\mathbf{D}$$

Pero Heaviside, como se dice en el libro mencionado, que luchó durante toda su vida por las unidades racionales$(4\pi$presente en la ley de fuerza$)$, tiene otro argumento interesante sobre la ventaja de este sistema para otros. Señala la capacidad de un capacitor:

Un condensador de placa (con área$A$, separación de placas$d$) en estas unidades racionales$(4\pi$presente en la ley de fuerza$)$y en otras unidades$($con$4\pi$presentes en las ecuaciones de Maxwell$)$tiene una capacidad de

$$C=\frac{\epsilon A}{d}\tag{rational}$$ $$C=\frac{\epsilon A}{4\pi d}\tag{others}$$ y para un condensador esférico (radio $R$, esfera exterior imaginada en el infinito): $$C=4\pi \epsilon R\tag{rational}$$ $$C=\epsilon R\tag{others}$$ Vemos que con unidades racionales el factor $4\pi$aparece para la esfera. Para otras unidades falta para la esfera y aparece para el capacitor plano.

Luego, Heaviside hace la siguiente sorprendente comparación: al pasar de la medida de la distancia a la medida del área, uno podría definir como unidad de área el área de un círculo de radio$1$. Esto sería lógicamente posible. Sin embargo, conduciría al extraño resultado de que un cuadrado con el lado$1$tendria el area$\dfrac{1}{\pi}$. Entonces todo el mundo diría que$\pi$estaba en el lugar equivocado. Dijimos lo mismo del factor$4\pi$en las fórmulas anteriores para las capacidades.

Cualquier ecuación diferencial de la forma$\nabla \cdot A = \alpha$y$\nabla \wedge A = 0$en$n$-dimensiones tiene como función de Green (es decir, la solución para una fuente puntual, para$\alpha = \delta$, la función delta de Dirac) un campo$G$de la forma

$$G(r) = \frac{1}{S_{n-1}} \frac{\hat r}{|r|^{n-1}}$$

dónde$S_{n-1}$es el área de superficie de una unidad$n$-pelota, que sabemos que es$4\pi$en 3d el factor de$4\pi$que aparece en muchas de estas ecuaciones de fuerza es intrínsecamente geométrico y, como se ha dicho, es confuso convertirlo en una constante, especialmente si uno trabaja fuera de 3d (ver, por ejemplo, el campo eléctrico de una carga lineal, que es un problema 2d y por lo tanto tiene$2\pi$aparecen en él, como circunferencia de un círculo unitario).

La razón principal es que facilita el cálculo y los resultados se ven mejor. Por ejemplo, suponga que el campo (o fuerza) está dado por

$$E = \frac{1}{4\pi} f(\mathbf{r})$$ para alguna funcion $f(\mathbf{r})$.

Si el sistema procesa la simetría rotacional, después de sumar la densidad, obtendrá un factor de$2\pi$. Si el sistema procesa simetría esférica, obtendrá un factor de$4\pi$. En ambos casos, la ecuación resultante no contiene$\pi$factor. Es particularmente útil en EM ya que generalmente consideramos que un proceso de distribución de densidad tiene cierta simetría.

Entonces, ¿por qué no hay$\pi$en la gravedad newtoniana$F=GMm/r^2$?

Porque no hay tal necesidad. No puedes crear un planeta como un objeto macroscópico en una barra infinitamente larga, una forma de disco o alguna forma divertida. La gravedad solo tiene un efecto significativo cuando acumula una gran masa, al mismo tiempo, se convierte en una esfera por su propia gravedad. Entonces, básicamente, ya es un buen punto como partícula cuando lo miramos a un radio de distancia. El extra$\pi$no hará ningún cálculo más fácil.

Algunas personas (incluido yo mismo) considerarían las ecuaciones de campo como la Ley de Gauss como más "fundamentales" que las ecuaciones de fuerza. La razón más obvia de esto es que la Ley de fuerza de Coulomb solo funciona cuando las cargas en cuestión se mantienen estáticas; debe modificarse una vez que se les permite moverse.

Como han dicho los demás, el$4 \pi$tiene que ver con el área superficial de una esfera. La ley de Gauss (usaré la forma integral para hacer más evidente la conexión del área superficial) para el campo eléctrico nos dice:

$$\int \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{A}= \frac{q}{\epsilon_0}$$

En palabras, esto significa que si encierras algunas cargas en una superficie imaginaria, entonces la suma del campo eléctrico que sobresale de esa superficie multiplicada por el área de la superficie es igual a la carga total encerrada por ella, multiplicada por algún factor constante. . Si toma una sola carga puntual y la encierra con una superficie esférica de radio$r$, entonces se reduce a:

$$4 \pi r^2 E= \frac{q}{\epsilon_0}$$

Reordene un poco y es bastante fácil ver cómo se relaciona con la Ley de Coulomb.

También hay una forma de Ley de Gauss para la gravedad (newtoniana):

$$\int \mathbf{g} \cdot \mathrm{d} \mathbf{A}= 4 \pi GM$$

Esta ecuación de campo en realidad contiene el factor$4 \pi$ya, por lo que cuando encierras una masa con una superficie esférica, el factor se cancela en ambos lados. Esto se debe simplemente a que cuando Newton escribió su ley de fuerza para la gravedad, no sabía cosas como la Ley de Gauss, y por eso se olvidó de incluir la$4 \pi$en la ecuación de la fuerza. Y desde entonces, la convención se ha mantenido, por lo que nos queda una mezcolanza un poco confusa de algunas ecuaciones de campo que necesitan factores de$\pi$y algunos no. En general, si ve un factor de$\pi$en una ecuación de campo, entonces probablemente estés viendo algo relacionado con la gravedad.

Es solo el resultado del teorema de Gauss aplicado en simetría, en este caso, el área de superficie de la esfera con carga colocada en su centro.

que es 4 Pi R^2