Dimensiones físicas de la fuerza de Coulomb en SI y CGS

Respuesta corta

Has encontrado la peculiaridad de que los sistemas SI y CGS no solo miden la carga eléctrica con diferentes unidades, sino que también les asignan diferentes dimensionalidades.

En SI, el Amperio es una unidad base . Los amperios no están hechos de otra cosa, son primitivos, como metros, kilogramos y segundos. Un amperio es un culombio por segundo, por lo que la unidad de carga eléctrica, el culombio, es igual a un amperio-segundo.

Cuando hay una ecuación que tiene amperios o culombios en un lado y algo sin esas unidades (como la fuerza) en el otro lado, la ecuación siempre tendrá una constante que tiene las unidades correctas para equilibrar las cosas. Ese trabajo lo hace$\mu_0$y$\epsilon_0$.

En CGS, la carga se mide en esu , pero esta es una unidad derivada. Se considera que la carga se compone de longitud, masa y tiempo, como ocurre, por ejemplo, con el momento angular. La carga tiene dimensiones

y un esu es igual a la raíz cuadrada de un$\text{dyne-cm}^2$.

Respuesta más larga

En SI, comenzamos con metros, kilogramos y segundos. Luego establecemos$\mu_0$ser - estar$4\pi\times 10^{-7}\textrm{ohm-sec/m}$. Ahora tome dos cables muy largos en comparación con la distancia entre ellos y pase la misma corriente a través de ellos. Haz la distancia entre ellos$d$. Una sección de longitud$l$de los cables sentirá una fuerza de atracción$F$, que depende del cuadrado de la corriente. El Amperio se define de tal manera que cuando la corriente se mide en Amperios, encontramos que

cuando$F$se mide en newtons,$d$y$l$en metros

Esta definición requiere que pueda crear la misma corriente en cada cable, que pueda medir con precisión la fuerza por unidad de longitud y que la fuerza sea perfectamente proporcional al cuadrado de la corriente. En verdad, no será porque los cables no son infinitamente largos y perfectamente rectos y paralelos, pero en la práctica se podría usar alguna definición operativa equivalente. (El hecho de que la definición sea del todo posible es una prueba de la hipótesis física de la proporcionalidad.) El punto importante es que el amperio se convierte en una nueva unidad básica. (Técnicamente, lo que se ha dicho hasta ahora no definiría los amperios, sino que nos daría una relación entre los amperios y los ohmios. Podríamos resolverlo observando las unidades de$V=IR$, por ejemplo).

El Coulomb utilizado en la ley de Coulomb se define entonces como un amperio-segundo. Esto parecería permitirnos medir experimentalmente$\epsilon_0$porque ahora es la única incógnita en la ley de Coulomb. Originalmente, eso era correcto, pero ahora hemos definido que la velocidad de la luz es$c = 2.99792458 \times 10^8$ metros/segundo, por lo que estamos limitados por$c = 1/\sqrt{\mu_0\epsilon_0}$. Esto obliga$\epsilon_0$ser - estar

lo que significa que también podríamos definir el Coulomb directamente a partir de la ley de Coulomb: tome dos cuerpos cargados, mida la fuerza entre ellos y defina el Coulomb como la unidad de carga tal que

con$R$en metros y$F$en Newtons. La observación experimental de que estas dos definiciones de Coulomb (una como Amperio-segundo y otra directamente de la ley de Coulomb) concuerdan entonces se convierte en una prueba de la teoría física del electromagnetismo.

En unidades CGS, la carga se mide en esu, una unidad derivada definida por la ley de Coulomb tal como la escribiste. Un esu es la carga tal que dos cuerpos cargados sienten la fuerza de Coulomb

con$F$en dinas y$R$en centimetros Si ambas cargas son un esu, esto da

o

finalmente, dado que la dina es una unidad derivada, esto podría escribirse en términos de unidades base como

Como consecuencia, hay una unidad base menos involucrada en las fórmulas electromagnéticas cuando se usa CGS. Además, no hay necesidad de la constante$\epsilon_0$utilizado en SI. Tampoco hay necesidad de$\mu_0$. En cambio, cosas como la ecuación de Maxwell incluyen explícitamente la velocidad de la luz.$c$. Puede ver una comparación lado a lado de las ecuaciones básicas de electromagnetismo en unidades SI y CGS aquí .

Convirtiendo CGS centímetros y gramos a SI metros y kilogramos, luego igualando las dos expresiones para la fuerza en la ley de Coulomb, encontramos la conversión de que un Coulomb es la misma cantidad de carga que$2.99792458 \times 10^9$ esu

Esta respuesta es un resumen de un apéndice de Electricidad y magnetismo de Purcell.

Sí, la dimensión es diferente. En el SI la corriente (A) es una unidad base independiente de la longitud (m), la masa (kg) y el tiempo (s) porque así lo elegimos, pero en el CGS la unidad gaussiana no lo es (1 unidad de corriente = 1 g ^1/2 cm ^3/2 s ^-2 ), ajustando$\epsilon_{0,SI} = \frac1{4\pi}$. Esto también conduce a algunos resultados quizás poco intuitivos, como que la unidad de capacitancia en CGS Gaussian es "centímetro" y la resistividad es "segundo".

El sistema de unidades es en realidad arbitrario. Podríamos, por ejemplo, hacer que cada observable físico sea un número sin unidades estableciendo$c = \hbar = k_B = \frac1{4\pi\epsilon_0} = G = 1$, y obtenemos la unidad natural de Planck, aunque esos números se vuelven inconvenientemente grandes o pequeños. Esta es también la razón de introducir el amperio (y el voltio y el ohmio) como unidades separadas, ya que el tamaño de esa "unidad de corriente" es poco práctico en la vida cotidiana (1 unidad de corriente CGS es 3 × 10 ^-8 A).

Es cierto porque todas las cantidades en la expresión cambian de dimensión, no solo la fuerza, sino también la carga y la distancia. Pero no solo eso: existen diferentes variaciones del sistema CGS. El que escribiste es Electrostatic CGS , y elige las unidades de carga para que$\frac{1}{4\pi\epsilon_0}=1$.