¿Por qué la aceleración es variable en el movimiento circular uniforme?

La aceleración es una cantidad vectorial. Tiene tanto magnitud como dirección. Tal como dijiste en la pregunta, la dirección de la aceleración está cambiando en un movimiento circular uniforme. Por tanto, la aceleración es variable, como se dice que una cantidad vectorial es variable si cambia su magnitud o su dirección.

La aceleración de un cuerpo que viaja a velocidad uniforme,$v$(velocidad constante sería más claro) en un círculo de radio$r$es dado por

Este es un punto común de confusión para los estudiantes. Como han dicho otras respuestas, la velocidad, al ser una cantidad vectorial, tiene magnitud y dirección. Sabemos que la velocidad de un objeto normalmente será en línea recta, y la única forma de cambiar la velocidad es acelerar o desacelerar el objeto (es decir, debemos usar la fuerza). Para hacer que algo describa un círculo, tenemos que cambiar constantemente la dirección de la fuerza, por lo que tenemos que cambiar constantemente la dirección de la aceleración. Por lo tanto, la aceleración cambia constantemente.

Simplemente porque sabemos cómo cambia algo, y que cambia continua y uniformemente , no cambia el hecho de que está cambiando. De manera similar, una cantidad que cambia continuamente es, por definición, variable. Por lo tanto, la aceleración de una partícula en el espacio 2D cambia continuamente y también es variable, porque el valor de la aceleración no es el mismo en todos los puntos en el tiempo.

Para verlo desde una perspectiva matemática, considere una partícula con posición$\mathbf{s}$. la velocidad es$\mathbf{v} = \dot{\mathbf{s}}$, y la aceleración es$\mathbf{a} = \dot {\mathbf{v}} = \ddot{\mathbf{s}}$. Si la partícula se mueve en un círculo, entonces$\mathbf{s} = (\cos \omega t, \sin \omega t)$, dónde$\omega$es la velocidad angular (tasa de cambio de ángulo por unidad de tiempo). Por simplicidad, dejemos$\omega=1$, entonces$\mathbf{s} = (\cos t, \sin t)$.

Tomando este componente sabio, tenemos$s_x = \cos t$Para el$x$coordinar. Este$\cos$el término se puede ver desde el círculo unitario. Entonces para el$x$-componente, la velocidad es$v_x = \frac{d}{dt} s_x = -\sin t$, y la aceleración es$a_x = \frac{d}{dt} v_x = -\cos t$. Claramente, la aceleración en el$x$-componente no es constante, sino que cambia con el tiempo. Del mismo modo para el$y$-componente que tenemos$a_y = \frac{d^2}{dt^2} \sin t = -\sin t$, que tampoco es constante.

Por lo tanto, la aceleración de una partícula que se mueve en un círculo a velocidad angular$\omega = 1$es$\mathbf{a} = (-\cos t, -\sin t)$, que vemos directamente no es constante en el tiempo, sino que cambia continuamente (es variable).

La aceleración es la tasa de cambio de la velocidad y la velocidad es una cantidad vectorial, lo que significa que tiene tanto una magnitud como una dirección.

Entonces hay una aceleración si:

• la magnitud de la velocidad cambiará pero no su dirección
• la dirección de la velocidad cambiará pero no su magnitud
• tanto la magnitud como la dirección de la velocidad cambiarán

En el contexto del movimiento circular uniforme que se entiende como la magnitud de la velocidad (rapidez) del objeto no cambia mientras que su dirección sí lo hace a medida que se mueve a lo largo de una trayectoria circular, el objeto está acelerando y la magnitud de esta aceleración es constante pero la dirección de la aceleración cambia a una velocidad igual a la velocidad angular del objeto giratorio.

Creo que estás confundiendo movimiento circular uniforme con aceleración uniforme . El libro del que hablas tiene razón al decir que la aceleración es variable. Esto se debe a que aunque la magnitud no cambia, la dirección cambia constantemente. Además, la velocidad a la que cambia la dirección es constante (de ahí el uso de la palabra "uniforme").

El movimiento circular uniforme se puede ilustrar bien balanceando una pelota de tenis en una cuerda en un círculo sobre tu cabeza a una velocidad constante. La tensión en la cuerda es lo que acelera la pelota, por lo que el vector de aceleración siempre apunta desde la pelota hacia el centro del círculo. La tensión en la cuerda permanece constante, por lo que la aceleración tiene una magnitud constante, pero a medida que se mueven la bola y la cuerda, el vector de aceleración cambia de dirección. El vector aceleración se considera variable porque su dirección cambia, aunque su magnitud sea constante.

Solo es variable si está utilizando un sistema de coordenadas ortogonales fijo fijado al suelo. (Como han explicado otras respuestas). Pero, si elige un sistema de coordenadas en movimiento fijo en el objeto en movimiento, la aceleración es fija. Es decir, elija los ejes Tangencial y Radial, y la aceleración será constante, en la dirección radial.

Considere un objeto que se mueve alrededor de la esfera de un reloj. Cuando está en la posición de las 3 en punto, se está moviendo hacia abajo, y cuando está en la posición de las 9 en punto, se está moviendo hacia arriba.

Ahora, si este movimiento es un movimiento circular uniforme, entonces la velocidad (magnitud de la velocidad) es constante, pero la velocidad cambia constantemente porque, como dices, cambia constantemente de dirección.

Ahora considere la posición de las 3 en punto cuando se mueve hacia abajo nuevamente. En este punto se está acelerando hacia la izquierda. Esto da como resultado un cambio de velocidad, de modo que se mueve menos rápidamente hacia abajo y ligeramente hacia la izquierda. Del mismo modo, cuando está en la posición de las 9 en punto, se acelera hacia la derecha, lo que resulta en una disminución en la rapidez con la que se mueve hacia arriba y un aumento en la rapidez con que se mueve hacia la derecha (lo cual no estaba haciendo en absoluto). hasta este punto, de hecho, justo antes de llegar a la posición de las 9 en punto, tenía un ligero movimiento hacia la izquierda).

Por lo tanto, así como la velocidad es de magnitud constante (la velocidad) pero de dirección constantemente variable, la aceleración también es de magnitud constante pero de dirección constantemente variable (siempre a 90° del movimiento). Como la aceleración es un vector, al igual que la velocidad, si cambias la dirección, la has cambiado.