Usando la aceleración centrípeta para encontrar la magnitud de la velocidad en t+dtt+dtt+dt

Question

Usando la aceleración centrípeta para encontrar la magnitud de la velocidad en t+dtt+dtt+dt

Malcolm

Considerando un movimiento circular sin aceleración angular. ¿Cómo puedes encontrar la misma magnitud para el vector de velocidad en diferentes tiempos usando la fórmula? $v_{t} = v_0 + a.t$ con vectores?

El vector de aceleración $\vec{a} = \vec{a_c} + \vec{a_t}$ dónde $\vec{a_c}$ es la aceleración centrípeta $a_c$ = $\dfrac{-v^2}{r}$ y $\vec{a_t}$ es la aceleración tangencial si la velocidad tangencial cambia.

En todos los diagramas que he visto hasta ahora, el vector de aceleración radial $\vec{a_r}$ y la velocidad tangencial $\vec{v_t}$ son perpendiculares y sus colas vectoriales comparten el mismo punto, entonces, ¿cómo podría $\vec{v_{(t_0+dt)}}$ ser de la misma magnitud que $\vec{v_{(t_0)}}$ ? ¿Cómo puedo probar que una hipotenusa tiene la misma longitud que uno de sus componentes? En mi libro hablan de aceleración radial en lugar de centrípeta, pero si no me equivoco, probé esto:

\vec{v_{(t_{0} + d t)}} = v_{r_{(t_{0})}} \vec{r} + v_{t_{(t_{0})}} \vec{θ} + (a_{r} . d t) \vec{r} + (a_{t} . d t) \vec{θ}

$\vec{v_{(t_0+dt)}} = v_{r_{(t_0)}}\vec{r} + v_{t_{(t_0)}}\vec{\theta} + (a_r.dt)\vec{r} + (a_t.dt)\vec{\theta}$

$\vec{r}$ es el vector unitario en la dirección del vector radio que va al punto p en $t_0$

y $\vec{\theta}$ es el vector unitario de la tangente en el punto p y en sentido positivo en sentido antihorario y perpendicular a $\vec{r}$

el escalar $v_r$ es cero y sin aceleración angular $a_t$ es cero ¿Es correcta esta ecuación?

∣ ∣ \vec{v_{(t_{0} + d t)}} ∣∣= (v_{t_{(t_{0})}}^{2} + (a_{r} . d t)^{2})^{\frac{1}{2}}

$\mid\mid\vec{v_{(t_0+dt)}}\mid\mid = (v_{t_{(t_0)}}^2 + (a_r.dt)^2)^{\frac{1}{2}}$ Acabo de ver la derivación que conduce a

a_{c}

$a_c$ =

\frac{- v^{2}}{r}

$\dfrac{-v^2}{r}$ pero en la ecuación anterior cualquier magnitud para

a_{r}

$a_r$ daría

v_{(t_{0} + d t)} = v_{t_{(t_{0})}}

$v_{(t_0+dt)} = v_{t_{(t_0)}}$ desde

d t

$dt$ es lo suficientemente pequeño.

Respuestas (2)

Usando la aceleración centrípeta para encontrar la magnitud de la velocidad en t+dtt+dtt+dt

felipe · Answer 1

Es muy fácil de hacer:

\begin{aligned} | v (t + d t) |^{2} & = {| v (t) + \frac{d v}{d t} d t |}^{2} \\ = {| v (t) \hat{θ} + a (t) d t |}^{2} \\ = {| v (t) \hat{θ} + a (t) d t \hat{r} |}^{2} \\ = v^{2} (t) + 2 v (t) a (t) d t \hat{θ} \cdot \hat{r} + a^{2} (t) (d t)^{2} \end{aligned}

$\begin{align} |\mathbf{v}(t+dt)|^2&= \left|\mathbf{v}(t)+\frac{d\mathbf{v}}{dt}dt\right|^2\\ &=\left|v(t)\boldsymbol{\hat\theta}+\mathbf{a}(t)dt\right|^2\\ &=\left|v(t)\boldsymbol{\hat\theta}+a(t)dt\mathbf{\hat r}\right|^2\\ &=v^2(t)+2v(t)a(t)dt \boldsymbol{\hat\theta}\cdot\mathbf{\hat r}+a^2(t)(dt)^2 \end{align}$ Desde

\hat{θ} \cdot \hat{r} = 0

$\boldsymbol{\hat\theta}\cdot\mathbf{\hat r}=0$ y

(d t)^{2}

$(dt)^2$ es despreciable,

| v (t + d t) |^{2} = v^{2} (t)

$|\mathbf{v}(t+dt)|^2=v^2(t)$ Funciona para cualquier aceleración siempre que sea perpendicular a la velocidad.

youpilat13 · Answer 2

Hay un argumento general que es hermosamente simple. La velocidad (al cuadrado) viene dada por $\vec{v}\cdot\vec{v}$ . Ahora, consideremos la tasa de cambio de la velocidad (al cuadrado):

\begin{aligned} \frac{d}{d t} (\vec{v} \cdot \vec{v}) & = \frac{d \vec{v}}{d t} \cdot \vec{v} + \vec{v} \cdot \frac{d \vec{v}}{d t} \\ = 2 \frac{d \vec{v}}{d t} \cdot \vec{v} \\ = 2 \vec{a} \cdot \vec{v} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{d}{dt} (\vec{v}\cdot\vec{v})&= \frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}+ \vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt} \\ &= 2 \frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}\\ &= 2 \vec{a}\cdot\vec{v} \end{align}$

Por lo tanto, si la aceleración es perpendicular a la velocidad, el cambio en la velocidad (al cuadrado) se desvanecería porque el producto escalar de los vectores perpendiculares se desvanecería. En otras palabras, la aceleración que es perpendicular a la velocidad solo contribuirá al cambio en la dirección de la velocidad.

Usando la aceleración centrípeta para encontrar la magnitud de la velocidad en t+dtt+dtt+dt

Malcolm

Respuestas (2)

felipe

youpilat13

Tener algunos problemas con la aceleración en coordenadas polares

¿Cuándo serán perpendiculares los vectores de velocidad y aceleración? [cerrado]

¿Cuál es la definición correcta de aceleración tangencial?

Significado físico de los términos de aceleración en coordenadas polares

Terminología para la derivada temporal de la velocidad (no la velocidad)

¿Qué significa la magnitud de la aceleración?

La dirección de la velocidad de un cuerpo puede cambiar cuando su aceleración es constante. ¿Cómo es posible si la aceleración es una cantidad vectorial?

Signo de aceleración

Utilizando la aceleración máxima aaa para el desplazamiento ddd con velocidad inicial v0v0v_0 y velocidad final v1v1v_1

¿Por qué la aceleración es variable en el movimiento circular uniforme?