¿Cuál es la amplitud del ciclo límite del oscilador de van der Pol?

Así que no soy un experto en ciclos límite de ninguna manera, pero estoy intrigado por este problema, así que esto es lo que se me ocurrió.

Tratemos el término no lineal perturbativamente. Esto no será suficiente para probar la existencia del ciclo límite para valores grandes de$\mu$, pero dado que aparentemente hay una prueba de que esto funciona perturbativamente, será suficiente para nosotros.

Tomemos un ansatz

$$\begin{equation} x(t)=\bar{x}(t)+\mu \delta(t) \end{equation}$$ dónde $$\begin{equation} \bar{x}(t)=a\cos(\omega_0 t) \end{equation}$$ Aquí $\mu\delta(t)$es una pequeña perturbación. Para que quede claro, estoy pensando en $\mu$como el pequeño parámetro, $\delta$no es una función pequeña. Supongo que la perturbación escalará como $\mu$(Opuesto a $\mu^2$o $\mu^3$), esto se justificará más adelante. (bueno, en realidad no lo justifico explícitamente más adelante. El punto es que el $O(\mu)$ecuación a continuación no habría dado ninguna información útil si esta escala hubiera sido incorrecta).

Por cierto, si pudiéramos calcular la forma del ciclo límite para grandes$\mu$podríamos generalizar el análisis haciendo$\bar{x}$igual al ciclo límite y luego ejecutar todos los pasos a continuación. El punto de lo pequeño$\mu$aproximación es que el ciclo límite debe ser aproximadamente la trayectoria del oscilador armónico en este límite. No sé mucho sobre estas cosas, pero no me sorprendería si hubiera una forma de calcular la curva del ciclo límite.

Lo que esperamos que suceda es que haya un valor especial de$a$tal que este ansatz es estable (lo que significa que$\delta$no explotará). Numéricamente has descubierto que este valor es$a=2x_0$, nos gustaría ver si también podemos ver esto peturbativamente.

Así que expandimos la ecuación. En$O(\mu^0)$, encontramos la ecuación del oscilador armónico, por supuesto.

En$O(\mu)$obtenemos una ecuación para$\delta$:

$$\begin{equation} \ddot{\delta}+\omega_0^2 \delta = (x_0^2 -\bar{x}^2)\dot{\bar{x}} \end{equation}$$

Después de suscribirse en el formulario de$\bar{x}$y usando algunas identidades trigonométricas encontramos

$$\begin{equation} \ddot{\delta}+\omega_0^2 \delta = a \omega_0 x_0^2 \sin(3\omega_0 t) + a\omega_0 (a^2-4x_0^2) \cos^2 \omega_0 t \sin \omega_0 t \end{equation}$$

Este es un oscilador armónico forzado: el lado derecho tiene dos términos forzados. Veamos el segundo:

$$\begin{equation} \cos^2(\omega_0 t)\sin(\omega_0 t) = \sin(\omega_0 t) - \sin^3(\omega_0 t) = \frac{1}{4}\sin(\omega_0 t) + \frac{1}{4} \sin(3 \omega_0 t) \end{equation}$$

Aquí hay varios términos, pero el problema es que hay un término con frecuencia$\omega_0$. Esto impulsa al oscilador a su frecuencia resonante, creando una inestabilidad.

Entonces, las fluctuaciones son inestables mientras esté presente el segundo término.

Pero precisamente cuando$a=2x_0$, el peligroso término de conducción resonante desaparece y las fluctuaciones son estables.

Voilá.