Derivación de Landau de la energía cinética de una partícula libre: ¿expansión de una función?

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Derivación de Landau de la energía cinética de una partícula libre: ¿expansión de una función?

llama de fisica

Estaba leyendo un poco de Mecánica de Landau y Lifshitz el otro día y me topé con la siguiente parte, donde los autores están a punto de derivar la energía cinética de una partícula libre. Usan el hecho de que el Lagrangiano de esta partícula debe ser el mismo (o como máximo, diferir por la derivada total del tiempo de una función de coordenadas y tiempo) en diferentes marcos inerciales.

Tenemos $L'=L(v'^2)=L(v^2+2\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\epsilon}+\boldsymbol{\epsilon}^2)$ . Ampliando esta expresión en poderes de $\boldsymbol{\epsilon}$ y despreciando los términos por encima del primer orden, obtenemos
$L (v^{' 2}) = L (v^{2}) + \frac{\partial L (v^{2})}{\partial (v^{2})} 2 v \cdot ϵ .$ $L(v'^2)=L(v^2)+\frac{\partial L(v^2)}{\partial (v^2)}2\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\epsilon}.$

Creo que estoy bien con toda la física en esta sección. Lo que no entiendo es solo la parte que cité anteriormente (así que tal vez esta publicación sea más adecuada para el sitio de matemáticas, pero como este libro es tan físico, pensé en publicarlo aquí). Mis matemáticas están bastante oxidadas, así que no estoy muy seguro. ¿Cómo expanden los autores la función para llegar a la expresión anterior? Me recuerda un poco a una expansión de Taylor, pero no mucho. ¿Cuál es el proceso utilizado para llegar a él?

Respuestas (1)

Derivación de Landau de la energía cinética de una partícula libre: ¿expansión de una función?

alemi · Answer 1

Es una expansión de Taylor. Puede que estés un poco asustado porque están tratando $L$ como una función de $v^2$ , pero eso no importa, considera

L (X + d) \sim L (X) + \frac{\partial L}{\partial X} d + O (d^{2})

$L(x + \delta) \sim L(x) + \frac{\partial L}{\partial x} \delta + O(\delta^2)$

pero toma $x=v^2$ y $\delta = 2 \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\epsilon} + \epsilon^2$ ,

\begin{aligned} L (v^{' 2}) & = L (v^{2} + 2 v \cdot ϵ + ϵ^{2}) \\ \sim L (v^{2}) + \frac{\partial L}{\partial v^{2}} (2 v \cdot ϵ + ϵ^{2}) + O (ϵ^{2}) \\ \sim L (v^{2}) + \frac{\partial L}{\partial v^{2}} 2 v \cdot ϵ + O (ϵ^{2}) \end{aligned}

$\begin{align*} L(v'^2) &= L( v^2 + 2 \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\epsilon} + \epsilon^2) \\ &\sim L(v^2) + \frac{\partial L}{\partial v^2} ( 2 \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\epsilon} + \epsilon^2) + O(\epsilon^2) \\ &\sim L(v^2) + \frac{\partial L}{\partial v^2} 2 \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\epsilon} + O(\epsilon^2) \end{align*}$

Podemos dejar el otro $\epsilon^2 \frac{\partial L}{\partial v^2}$ plazo ya que sólo nos interesan los términos de primer orden.

Expansión de Taylor en general

Si es la expansión de Taylor con la que tienes problemas, eso también es bastante fácil de mostrar. Considerar $f(x + \epsilon)$ con $\epsilon$ pequeño, podríamos querer expresar el valor de $f(x + \epsilon)$ como una serie de potencias en $\epsilon$ , entonces buscamos algo de la forma

F (X + ϵ) = a_{0} + a_{1} ϵ + a_{2} ϵ^{2} + \dots

$f(x + \epsilon) = a_0 + a_1 \epsilon + a_2 \epsilon^2 + \cdots$

¿Cómo determinamos los coeficientes? Bueno, podemos encontrar $a_0$ tomando el límite como $\epsilon \to 0$ , obteniendo

F (X) = a_{0}

$f(x) = a_0$

Genial, pero ¿cómo obtendríamos el $a_1$ ¿coeficiente? Bueno, solo toma un derivado de ambos lados

F^{'} (X + ϵ) = a_{1} + 2 a_{2} ϵ + \dots

$f'(x + \epsilon) = a_1 + 2 a_2 \epsilon + \cdots$

y simplemente tomar el límite de nuevo, obteniendo

F^{'} (X) = a_{1}

$f'(x) = a_1$

Haciendo ese proceso una vez más se obtiene

F^{″} (X) = 2 a_{2}

$f''(x) = 2 a_2$

Entonces, hasta ahora tenemos

F (X + ϵ) = F (X) + F^{'} (X) ϵ + \frac{1}{2} F^{″} (X) ϵ^{2} + \dots

$f(x + \epsilon) = f(x) + f'(x) \epsilon + \frac 12 f''(x) \epsilon^2 + \cdots$

Si piensa en general, debería poder convencerse de que, en general, para el $n$ el término, tendremos

F^{(norte)} (X) = norte! a_{norte}

$f^{(n)}(x) = n! a_n$

dándonos el resultado general de la serie de Taylor

F (X + ϵ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{norte!} F^{(norte)} (X) ϵ^{norte}

$f(x + \epsilon) = \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{n!} f^{(n)}(x) \epsilon^n$

Ah, perfecto- gracias. Una duda más que acabo de tener: ¿por qué solo les interesan los términos de primer orden? ¿Es porque $\epsilon$ puede ser arbitrariamente pequeño? Me parece que si esa fuera la razón, habría cierta pérdida de generalidad en la derivación.
@PhysicsLlama Es posible que hayan aclarado esto un poco en el texto, pero usan esta diferencia de primer orden para argumentar que $\frac{\partial L}{\partial v^2}$ es independiente de $v^2$ . Pero si el primer parcial es independiente (es decir, una constante), cualquier parcial superior debe desaparecer, lo que significa que incluso si intentáramos ir a un orden superior en la expansión, todos desaparecerían.
@PhysicsLlama también el argumento debe funcionar para desaparecer $\epsilon$ como usted señala.
Buena forma de recordar los coeficientes de una expansión de Taylor allí, por cierto :) +1.
Sutileza importante que acabo de notar: expandiste f(x+e) en potencias de e, y luego tomaste la derivada del polinomio con respecto a e para encontrar los coeficientes a. Así que no tomaste la derivada de f con respecto a x, sino con respecto a e. Sin embargo, en su desarrollo anterior, lo tomó con respecto a v^2, que había establecido como su x. ¿No es esto inconsistente?
@PhysicsLlama Para arreglar lo segundo, y debería haberlo dejado claro, pero toma la derivada de ambos lados con respecto a $z = x + \epsilon$ , eso lo arregla. Tanto para la parte superior como para la inferior, el punto es tomar la derivada de la función con respecto a su propio argumento.

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