Velocidad de pequeñas oscilaciones

No.

La energía cinética siempre es cuadrática (suponiendo que no seamos relativistas), pero la energía potencial nunca es estrictamente cuadrática. Para obtener un potencial casi cuadrático, se debe restringir el movimiento a pequeñas desviaciones alrededor de un punto de equilibrio.

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La expresión para$T$depende de$\dot\eta$, por supuesto, pero también depende de$\eta$a través de la dependencia coordinada del tensor de inercia$m(q)$. Para un sistema de partículas masivas que analizamos usando coordenadas convencionales, la inercia de las partículas, sus masas, no cambia. Sin embargo, cuando se expresa en coordenadas generalizadas, la inercia puede variar con la coordenada. Sin embargo, para usar un formalismo linealizado, debemos tener una energía cinética que dependa de$\dot\eta$solo. Es decir, la inercia debe ser constante.

Para lograr esto, restringimos las coordenadas a una pequeña región alrededor del punto de equilibrio, una región sobre la cual la inercia no cambia apreciablemente. Hacemos esto expandiendo$m(q)$en un desarrollo en serie de Taylor, conservando sólo el término que no depende de$\eta$. Observe que la expansión es una expansión en$\eta$, no$\dot\eta$, y términos lineales (y superiores) en$\eta$se caen Es decir, restringe la validez a pequeñas$\eta$, no pequeño$\dot\eta$La expansión no tiene nada que decir sobre$\dot\eta$. No tengo a Goldstein frente a mí, pero sospecho que la siguiente fórmula es$T=m_{ij}(q^0)\dot\eta_i \dot\eta_j$. Inercia constante, y el desarrollo puede continuar de la manera "ordinaria".