Lagrangiano para pequeñas oscilaciones no lineales

Question

Lagrangiano para pequeñas oscilaciones no lineales

Jordán Hernández

Mi Lagrangiano original es este, pero quiero obtener términos no lineales considerando pequeñas oscilaciones:

L = metro a^{2} [{\dot{θ}}^{2} (1 + 2 {pecado}^{2} θ) + Ω^{2} {pecado}^{2} θ + 2 Ω_{0} porque θ] .

$L = ma^2[\dot \theta^2(1+ 2\sin^2\theta) + \Omega^2\sin^2\theta + 2\Omega_0\cos\theta] .$ Ahora, el punto de equilibrio de la energía potencial

U

$U$ es

\cos θ_{0} = \frac{Ω_{0}^{2}}{Ω^{2}}

$\cos\theta_0 = \frac{\Omega_0^2}{\Omega^2}$ . Ahora si

Ω_{0} = Ω

$\Omega_0 = \Omega$ y,

x = θ - θ_{0}

$x = \theta - \theta_0$ dónde

x

$x$ es el desplazamiento angular. Entonces la expansión de Taylor alrededor del punto de equilibrio

θ_{0}

$\theta_0$ para la energía potencial es:

tu = metro a^{2} (- 2 + \frac{X^{4}}{4})

$U = ma^2(-2 +\frac{x^4}{4})$ y la energía cinética es:

T = metro a^{2} {\dot{X}}^{2} (1 + s i {norte}^{2} X) = metro a^{2} {\dot{X}}^{2} (1 + 2 X^{2})

$T=ma^2\dot x^2(1+ sin^2x)=ma^2\dot x^2(1 + 2x^2)$ y finalmente Lagrangiano es:

L = T - tu = metro a^{2} {\dot{X}}^{2} (1 + 2 X^{2}) - metro a^{2} (- 2 + \frac{X^{4}}{4})

$L= T - U =ma^2\dot x^2(1 + 2x^2) - ma^2(-2 +\frac{x^4}{4})$ ¿Es el proceso correcto y, de ser así, puedo resolverlo con aproximaciones sucesivas?

Respuestas (1)

Lagrangiano para pequeñas oscilaciones no lineales

eli · Answer 1

La energía potencial dividida por $m\,a^2$ es:

tu = Ω^{2} {(pecado (ϑ))}^{2} + 2 Ω_{0} porque (ϑ)

$U={\Omega}^{2} \left( \sin \left( \vartheta \right) \right) ^{2}+2\, \Omega_{{0}}\cos \left( \vartheta \right)$

la serie de Taylor para un pequeño $\vartheta$ en $\vartheta_0$ y $\vartheta^n=0~,n=3,4,...~$ es:

{tu}_{T} = tu (ϑ_{0}) + \frac{\partial tu}{\partial ϑ} |_{ϑ_{0}} (ϑ - ϑ_{0}) + \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} tu}{\partial ϑ^{2}} |_{ϑ_{0}} {(ϑ - ϑ_{0})}^{2}

$U_T=U(\vartheta_0)+\frac{\partial U}{\partial \vartheta} \bigg|_{\vartheta_0}\left(\vartheta-\vartheta_0\right)+\frac{1}{2}\,\frac{\partial^2 U}{\partial \vartheta^2}\bigg|_{\vartheta_0}\left(\vartheta-\vartheta_0\right)^2$

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fíjate que por $~\vartheta=\vartheta_0~~$ no obtienes el equilibrio estático

Por qué:

la ecuacion de movimiento:

\frac{d}{d t} (\frac{\partial T_{T}}{\partial \dot{ϑ}}) + \underset{- F}{\underset{⏟}{(\frac{\partial {tu}_{T}}{\partial ϑ})}} = 0

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T_T}{\partial \dot \vartheta}\right)+\underbrace{\left(\frac{\partial U_T}{\partial \vartheta}\right)}_{-F}=0$

por lo tanto F es:

F = F_{1} (ϑ_{0}) + F_{2} (ϑ_{0}) (ϑ - ϑ_{0})

$F=f_1(\vartheta_0)+f_2(\vartheta_0)\,(\vartheta-\vartheta_0)$

con $f_1=U'\bigg|_{\vartheta_0}~,f_2=U''\bigg|_{\vartheta_0}$

ahora para $~\vartheta=\vartheta_0~,F=f_1(\vartheta_0)$

por lo tanto para obtener el equilibrio estático en $~\vartheta=\vartheta_0~$ hay que sumar a la ecuacion de movimiento la fuerza estatica $f_1(\vartheta_0)$

Presumiblemente el punto fijo está en $\vartheta=\vartheta_0$ por lo que necesitaría mantener el término cuadrático en la serie para $U$ , por lo que el EOM es lineal y no trivial.

Lagrangiano para pequeñas oscilaciones no lineales

Jordán Hernández

Respuestas (1)

eli

ZeroTheHero

eli

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