¿Por qué ℏℏ\hbar aparece dos veces en los axiomas de QM?

Las teorías físicas tienen constantes dimensionales. Cada constante se puede encontrar a través de la medición, ajustando alguna ecuación a los datos. Matemáticamente, se esperaría que cada constante se "definiera" de esta manera por exactamente una ecuación. Por ejemplo, la constante gravitacional GRAMO se introduce exactamente en una ecuación de GR, es decir, en su presencia en la ecuación de campo de Einstein. (Podría decirse que esto es más de una ecuación, pero lo dejaremos pasar, ya que estas ecuaciones están unidas por la restricción de la covarianza general).

En mecánica cuántica, sin embargo, ℏ aparece dos veces en dos contextos muy diferentes. El primero está en la ecuación de Schrödinger

i ℏ ∂ ∂ t | Ψ ⟩ = H ^ | Ψ ⟩

y el segundo está en la relación de conmutación canónica

[ X ^ , pag ^ ] = i ℏ .

¿Hay alguna razón por la que estos dos ℏ 's debe ser el mismo, moralmente hablando? Obviamente, preguntar "por qué" sobre preguntas como esta es subjetivo, pero todavía tengo curiosidad por saber si alguien tiene buenas respuestas.

Respuestas (2)

son realmente iguales ℏ , y vienen exactamente del mismo lugar. Para ver esto, es mejor trabajar en la imagen de Heisenberg , donde la ecuación de Schrödinger se convierte en

d A d t = 1 i ℏ [ A ( t ) , H ]
para cualquier cantidad A ( t ) . Ahora compare esto con la ecuación de movimiento en el formalismo hamiltoniano de la mecánica clásica,
d F d t = { F , H } .
De manera similar, los corchetes canónicos de Poisson y los conmutadores canónicos son
{ X , pag } = 1 , [ X , pag ] = i ℏ .
Por tanto, la regla general que da ambas ecuaciones es que una ecuación clásica se convierte en una cuántica reemplazando el corchete de Poisson { ⋅ , ⋅ } con 1 / i ℏ veces un conmutador [ ⋅ , ⋅ ] .

Otra forma de ver esto es que la mecánica cuántica especifica una escala fundamental de acción, y que puede pensarse como una energía multiplicada por un tiempo (en la ecuación de Schrödinger) o una longitud multiplicada por un impulso (en el conmutador canónico). Sin embargo, es una pregunta justa preguntar si diferentes tipos de partículas pueden tener diferentes valores de ℏ . Hice una pregunta sobre eso aquí .

Esta pregunta se reduce a dos preguntas: (1) ¿por qué las relaciones de Planck-Einstein para la energía mi y frecuencia ω así como el impulso pag → y vector de onda k → de un fotón sostenido con el mismo ℏ :

mi = ℏ ω
pag → = ℏ k →
y (2) por qué estas relaciones también son válidas para la energía y el momento de una partícula libre (la relación de De Broglie). Para el fotón, el hecho de que la segunda ecuación tenga la misma ℏ ya que la primera ecuación se sigue directamente de las ecuaciones de Maxwell (teorema de Poynting). También se ha confirmado experimentalmente (por ejemplo, efecto Compton). Para una partícula libre general, la segunda ecuación es la relación de De Broglie para la onda de materia de una partícula libre. Que esto también tiene lo mismo ℏ , como lo supone de Broglie, ha sido confirmado experimentalmente, por ejemplo, por los experimentos de difracción de ondas de electrones de Davisson-Germer.

¿Por qué ℏℏ\hbar aparece dos veces en los axiomas de QM?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v