¿Por qué hay una fórmula Cardy en 2D CFT?

Esta pregunta acaba de enviarse a la página de inicio, así que déjame intentar dar una respuesta física para explicar por qué la invariancia modular es particular de dos dimensiones. La fórmula de Cardy te dice algo sobre la densidad de estados de una CFT. Para contar los estados de un CFT en$d$dimensiones, naturalmente considera la función de partición térmica$Z_{S^{d-1}}(\beta,R)$en una esfera$S^{d-1}$, donde la esfera tiene radio$R$. "Térmico" significa que estamos trabajando en tiempo euclidiano, compactado en un círculo de longitud$\beta$. El hamiltoniano en la dirección térmica es el generador de dilataciones$D$, entonces

$$Z(\beta,R) = \sum_{\text{all states}} e^{-(\beta/R) \Delta}.$$ en el limite $\beta/R \ll 1$apenas hay supresión exponencial, por lo que la suma es sensible a todos los estados, y puede extraer información termodinámica sobre la CFT. En el límite opuesto $\beta/R \gg 1$sólo unos pocos términos contribuyen significativamente.

En$d=2$sucede algo especial. "Espacio"$S^{d-1}$es un circulo$S^1$de longitud$L = 2\pi R$. Entonces, toda la variedad es solo un rectángulo (o, para ser más precisos, un toro, ya que tenemos condiciones de contorno periódicas). No pasa nada si cambias$L$y$\beta$, por lo que obtenemos una identidad

$$Z(\beta,L) = Z(L,\beta).$$ Dado que la teoría es invariante en escala, podemos cambiar la escala y descartar el segundo argumento, lo que da $$Z(\delta) = Z(\delta^{-1}), \quad \delta = \beta/L.$$ Esto significa que puede decir algo sobre un límite termodinámico difícil $\delta \ll 1$de un límite trivial $\delta \gg 1$, y esto conduce a identidades como la fórmula de Cardy. El ingrediente crucial fue que hay una simetría entre el espacio $S^1$y la térmica $S^1$en 2d, mientras que en d superior no podemos intercambiar $S^{d-1}$y $S^1$.

He pasado por alto algunos detalles técnicos, especialmente al ignorar la llamada anomalía de Weyl. Sin embargo, la lógica anterior debería explicar qué tiene de especial$d=2$.

En primer lugar, debe señalarse que también existen fórmulas de Cardy para otras CFT dimensionales. Consulte https://arxiv.org/abs/1407.6061 de Komargodski y Di Pietro y este artículo de Verlinde https://arxiv.org/abs/hep-th/0008140 .

Pero pasemos a su pregunta en teorías dimensionales 1+1. El principio principal es que para las teorías unitarias de campos conformes, las cargas conservadas que etiquetan los estados (es decir, el momento y la energía) son ambas funciones de la$L_0$y$\bar{L}_0$generadores y solo. Entonces, la densidad total de estados dependerá hasta el orden principal de$L_0$y$\bar{L}_0$, a partir de los principios de la mecánica estadística. Entonces, la forma final de la función de partición se puede derivar exigiendo invariancia modular, es decir, el número de estados no debe depender de la forma en que se parametriza la red en la que vive la teoría.

Editar: una cosa que quiero agregar (que puede no contribuir directamente a la respuesta) es que la fórmula de Cardy es válida para teorías unitarias en 2d CFT con gran carga central. Por lo general, no es demasiado difícil obtener restricciones en las representaciones unitarias de una CFT en términos del peso conforme y la carga central y, en principio, puede encontrar teorías de campos unitarios con una gran carga central. En otras dimensiones, las restricciones de unitaridad pueden ser más estrictas debido a la presencia de más de una carga central, como en el caso de los 4d CFT. Esta es la diferencia fundamental entre las fórmulas de Cardy en 2d y otras dimensiones, es decir, las restricciones sobre la unitaridad. Si observa cómo se contarían los estados en 4d CFT, por ejemplo, verá que dependen de la diferencia entre las dos cargas centrales.$(c-a)$.