El punto neutro es el punto donde el campo eléctrico resultante es cero.

Si imaginamos una pequeña carga de prueba colocada en el punto neutro, la fuerza sobre ella será cero, pero las otras dos cargas se repelen entre sí. Su movimiento depende entonces de sus masas y, en general, esto haría que el punto neutral cambiara de posición.

La solución de John Hunter es más elegante y concisa; sin embargo, si también está interesado en la condición bajo la cual el punto sigue siendo el punto neutral y una prueba más matemática, aquí hay un enfoque diferente:

Además, no estoy seguro de si el autor de la pregunta quería el cargo.$q_0$para impactar el sistema o simplemente como una carga de prueba. Si lo desea$q_0$para no tener ningún impacto en el sistema, simplemente configure$q_0=0$en los cálculos del procedimiento.

Definiciones

Debido a las ecuaciones voluminosas, primero definiremos alguna notación:

$$\boldsymbol M\equiv\begin{bmatrix}m_0 & 0 & 0\\0 & m_1 & 0\\0 & 0 & m_2\end{bmatrix},\quad\quad\boldsymbol Q\equiv\begin{bmatrix}q_0 & 0 & 0\\0 & q_1 & 0\\0 & 0 & q_2\end{bmatrix},\quad\quad\vec{r}\equiv\begin{bmatrix}r_0\\r_1\\r_2\end{bmatrix},\quad\quad k\equiv\frac{1}{4\pi\epsilon\epsilon_0},\\\quad\\\text{and}\quad a\equiv\sqrt{q_1}+\sqrt{q_2}$$

dónde$m_n$,$q_n$y$r_n$son la masa, la carga y la posición del$n^\text{th}$partícula respectivamente. Finalmente, deja$r_{ij}\equiv r_i-r_j$.

Ecuaciones de movimiento

Por lo tanto, las ecuaciones de movimiento 1D se pueden escribir de manera concisa como:

$$\boldsymbol{M}\ddot{\vec{r}}=k\boldsymbol{Q}\begin{bmatrix}\frac{q_1}{r_{10}^2}+\frac{q_2}{r_{02}^2}\\\frac{q_2}{r_{21}^2}+\frac{q_0}{r_{10}^2}\\\frac{q_0}{r_{02}^2}+\frac{q_1}{r_{21}^2}\end{bmatrix}\tag{1}$$

Restricción

Ahora bien, si aplicamos la condición de que$q_0$permanece en el punto neutro:

$$\left|r_{10}\right|=\frac{q_1}{a}\left|r_{21}\right|\quad\text{and}\quad\left|r_{02}\right|=\frac{q_2}{a}\left|r_{21}\right|$$

Ahora podemos usar esto para encontrar las restricciones en los parámetros$\boldsymbol{M}$,$\boldsymbol{Q}$y$k$por lo que esto es cierto.

Sustituyendo estas condiciones en el lado izquierdo de (1) se obtiene:

$$\begin{align}\boldsymbol{M}\ddot{\vec{r}}&=\frac{k}{r_{21}^2}\boldsymbol{Q}\underbrace{\begin{bmatrix}2a^2\\a^2+q_2\\a^2+q_1\end{bmatrix}}_{\equiv\vec{w}}\\\implies\ddot{\vec{r}}&=\frac{k}{r_{21}^2}\boldsymbol{M}^{-1}\boldsymbol{Q}\vec{w}\tag{2}\end{align}\\%to anyone who edits the extra line is to prevent clipping of bottom line in render$$

Como$\boldsymbol{M}$es diagonal:

$$\boldsymbol{M}^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{m_0} & 0 & 0\\0 & \frac{1}{m_1} & 0\\0 & 0 & \frac{1}{m_2}\end{bmatrix}\\%to anyone who edits the extra line is to prevent clipping of bottom of matrix in render$$

Así, la ecuación (2) da implica:

$$\begin{align}\ddot r_{21}&=\frac{k}{r_{21}}\left(\frac{q_2}{m_2}\left(a^2+q_1\right)-\frac{q_1}{m_1}\left(a^2+q_2\right)\right)\tag{3}\\\ddot r_{01}&=\frac{k}{r_{21}}\left(2\frac{q_0}{m_0}a^2-\frac{q_1}{m_1}\left(a^2+q_2\right)\right)\tag{4}\end{align}$$

Sin embargo, ya sabemos$\left|r_{10}\right|=\frac{q_1}{a}\left|r_{21}\right|\implies\left|\ddot r_{10}\right|=\frac{q_1}{a}\left|\ddot r_{21}\right|$

Por lo tanto, suponiendo el orden inicial de$r_1<r_0<r_2$entonces$\ddot r_{01}=\frac{q_1}{a}\ddot r_{21}$y sustituyendo en las ecuaciones (3) y (4) da la restricción:

$$2\frac{q_0}{m_0}a^2-\frac{q_1}{m_1}\left(a^2+q_2\right)=\frac{q_1}{a}\left(\frac{q_2}{m_2}\left(a^2+q_1\right)-\frac{q_1}{m_1}\left(a^2+q_2\right)\right)\tag{5}$$

Del mismo modo, si hubiéramos utilizado$r_{20}$hubiésemos obtenido:

$$\frac{q_2}{m_2}\left(a^2+q_1\right)-2\frac{q_0}{m_0}a^2=\frac{q_1}{a}\left(\frac{q_2}{m_2}\left(a^2+q_1\right)-\frac{q_1}{m_1}\left(a^2+q_2\right)\right)\tag{6}$$

Solo si se cumplen (5) y (6) entonces$q_0$permanecerá en el punto neutral. Tenga en cuenta que tanto (5) como (6) solo dependen de la carga y la masa. A continuación he trazado$q_2$contra$q_1$para ambas ecuaciones (5) y (6) manteniendo todos los demás valores constantes para algunos parámetros distintos de cero ($m_n=1$para todos$n$y$q_0=1.7$) para demostrar que existen soluciones:

Actualizaciones

el teorema de Earnshaw

Creo que el punto sobre el teorema de Earnshaw es que la fuerza resultante en las tres cargas no puede ser cero simultáneamente, pero puede ser cero para$q_0$como demuestras en la pregunta.

Inestabilidades

Para fuerzas de atracción, las cargas deben permanecer en línea recta. Sin embargo, para fuerzas repulsivas, pequeñas desviaciones de la línea recta harán que las cargas se alejen de la línea 1D y así$q_0$ya no permanecerá en el punto neutral independientemente de si los parámetros son una solución a (5) y (6). A menos que los cargos estén de alguna manera restringidos al único movimiento a lo largo de la línea 1D.

Esto se puede pensar intuitivamente considerando si hay un mínimo (caso atractivo) o un máximo (caso repulsivo) en el potencial experimentado por cada carga perpendicular a la línea. Similar a la idea de equilibrio estable e inestable; sin embargo, en esa analogía solo estamos considerando el equilibrio perpendicular a la línea ya que el sistema claramente no está en equilibrio paralelo a la línea.