¿Por qué este no es un argumento válido para la hipótesis de Riemann?

No soy un matemático entrenado, solo disfruto jugando. La función zeta de Riemann con la famosa hipótesis de Riemann siempre me ha fascinado, y como aficionado es divertido tratar de manipular la serie que define esta función de diferentes maneras.

Lo que no entiendo es por qué probar la hipótesis es tan difícil, cuando ya se sabe tanto sobre la función. ¿Qué tiene de malo el siguiente argumento?

Parto de la relación entre el$\zeta$función y la$\eta$función que debería ser válida en la tira crítica:

$$(1-2^{1-s}) \zeta(s) = \eta(s)$$ con $$\eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}n^{-s}$$

y$s=a+bi$. Se sabe que los ceros no triviales deben ser simétricos con respecto a la línea crítica$s=1/2$en la franja crítica. Así que digamos que hay dos ceros$s=1/2+\varepsilon+bi$y$s=1/2-\varepsilon+bi$con por conveniencia$0\leq \varepsilon<1/2$. Desde el$1/(1-2^{1-s})$el factor nunca es$0$, los ceros de la$\eta$y$\zeta$Las funciones deben coincidir.

Dejar

$$S_1 = \eta(1/2+\varepsilon+bi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}n^{-\varepsilon}}{n^{1/2+bi}}$$

y

$$S_2 = \eta(1/2-\varepsilon+bi) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}n^{\varepsilon}}{n^{1/2+bi}}$$

¿No podemos dibujar una correspondencia biunívoca entre los términos, es decir, las series son iguales (ambos$0$) cuando todos los términos son iguales? En este caso, esto implicaría$n^{-\varepsilon} = n^{\varepsilon}$, lo cual solo es cierto para$\varepsilon=0$, por lo tanto, todos los ceros deben estar en la línea crítica?