Hipótesis de Riemann y distribución de primos

¿Qué implica exactamente la hipótesis de Riemann para los números primos? Dado que la fórmula explícita es independiente de la hipótesis de Riemann, ¿qué significaría realmente para los números primos si todos los ceros no triviales de la función zeta tuvieran parte real 0,5? ¿Hay algún tipo de explicación "simple" para eso?

Quizás un lugar que valga la pena para comenzar, aunque quizás no sea tan simple como deseas: en.wikipedia.org/wiki/…
Gracias, ya probé esta página, pero no encontré una implicación clara para la distribución principal, solo algunas equivalencias indirectas. ¿O me estoy perdiendo algo aquí?

Respuestas (3)

La hipótesis de Riemann dice que para cualquier número real X el número de números primos menor que X es aproximadamente L i ( X ) y esta aproximación es esencialmente exacta a la raíz cuadrada. Más precisamente,

π ( X ) = L i ( X ) + O ( X registro ⁡ ( X ) ) .

"Von Koch (1901) demostró que la hipótesis de Riemann implica el "mejor límite posible" para el error del teorema de los números primos".

Referencias en este sitio:

¿Qué relación tiene la distribución de números primos con la hipótesis de Riemann?

¿Cuál es el vínculo entre los primos y los ceros de la función zeta de Riemann?

Entonces, ¿la hipótesis de Riemann es esencialmente solo una mejora del teorema de los números primos? ¿Por qué me importaría siquiera una fórmula aproximada como la que mencionaste si Riemann demostró una exacta?
Qué es li ( X ) ?
Li(x) es la integral logarítmica. Ver: en.wikipedia.org/wiki/Logarithmic_integral_function
@MaxG El exacto se basa en la ubicación precisa de los ceros críticos, por lo que no solo en la parte real 1 / 2 de s . Entonces, la fórmula asintótica con un término de error preciso dice mucho más sobre la distribución de números primos.

El enlace clave aquí es la fórmula explícita

ψ ( X ) = X − ∑ ρ X ρ ρ − ζ ′ ( 0 ) ζ ( 0 ) − 1 2 registro ⁡ ( 1 − 1 X 2 )   ,
dónde ∑ ρ denota la suma de todos los ceros ρ de ζ con 0 < Re ( ρ ) < 1 y
ψ ( X ) = ∑ pag k ≤ X ,   pag  principal registro ⁡ pag
es la segunda función de Chebyshev. Esto se demuestra mediante análisis complejo, integración de contornos y el teorema de Rouche, que vincula los ceros de una función F a una integral que involucra F ′ / F .

Ahora, se puede demostrar que si RH es verdadero, entonces la suma ∑ ρ en la fórmula explícita se puede controlar para mantenerlo pequeño (porque Re ( ρ ) = 1 / 2 para todos ρ ) para que obtengamos

ψ ( X ) = X + O ( X ( registro ⁡ X ) 2 ) ,
que a su vez se puede utilizar para demostrar que
π ( X ) = li ( X ) + O ( X registro ⁡ X ) .

Puede intentar leer Problems in Analytic Number Theory de Ram Murty para obtener más detalles.

Gracias Dietrich Burde, revisé los enlaces que mencionaste y en la primera respuesta al primer enlace (¿ Qué relación tiene la distribución de primos con la hipótesis de Riemann? ) Dice: "Conocimiento de la parte real de la ubicación de la zeta ceros se traduce en el conocimiento de la distribución de números primos". ¿Es posible esclarecer ese "conocimiento"? ¿Qué sé si asumo RH? ¿Y cómo exactamente obtengo este conocimiento?

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