¿Hipótesis de Riemann débil?

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¿Hipótesis de Riemann débil?

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xyz

La hipótesis de Riemann dice que todos los ceros no triviales de la función zeta de Riemann se encuentran en $Re(z)=\frac{1}{2}$ línea en su lugar esta región $Re(z) \in (0,1)$ .

Parece una pregunta natural que en lugar de probar que $Re(z)=\frac{1}{2}$ uno podría tratar de demostrar que $Re(z) \in (\epsilon,1-\epsilon)$ .

Estoy familiarizado con una región libre de ceros que se usa en el análisis del teorema de los números primos, pero es demasiado débil para concluir algo así.

Mi pregunta es esta pregunta tan difícil como probar la Hipótesis de Riemann?? ¿Hay algunos desarrollos para probar esto? ¿O un resultado de que probar esto implicaría probar la Hipótesis de Riemann?

reencuentros

Aún no está probado que

ζ (s)

$\zeta(s)$ no tiene una secuencia de ceros cuya parte real converja a

1

$1$ . GHFromMO en mathoverflow me dijo que probarlo probablemente valdría una medalla de campo. Es menos difícil que la RH en el sentido de que no implica la RH.

xyz

@ user1952009 ¿Puede dar una referencia para esto?

reencuentros

La referencia es que no está probado en ningún libro sobre

ζ (s)

$\zeta(s)$ , y no se menciona en en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function o en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem :)

reencuentros

Y creo que la zeta de Hurwitz o el contraejemplo de RH construido en el libro de Titchmarsh (algo así como

e^{i θ} L (s, χ_{5}) + e^{- i θ} L (s, \bar{χ_{5}})

$e^{i\theta} L(s,\chi_5)+e^{-i\theta}L(s,\overline{\chi_5})$ ) -ambos con ecuación funcional pero sin producto de Euler- tienen una secuencia de ceros que convergen en

R e (s) = 1

$Re(s) = 1$ . También puede construir fácilmente un producto de Euler que tenga una secuencia de ceros que converja en

R e (s) = 1

$Re(s) = 1$

xyz

@ user1952009 ¿Cómo se relaciona la hipótesis débil de Riemann con la conjetura de los ceros de Landau Siegel?

reencuentros

¿Leer algunos libros? Y un ceros de Siegel (si existe) es un cero en

s \in (1 / 2, 1)

$s \in (1/2,1)$ de

L (s, χ)

$L(s,\chi)$ dónde

χ

$\chi$ es un personaje real y, por lo tanto, es un contraejemplo de la hipótesis generalizada de Riemann.

Respuestas (1)

¿Hipótesis de Riemann débil?

Aún no está probado que $\zeta(s)$ no tiene una secuencia de ceros cuya parte real converja a $1$ . GHFromMO en mathoverflow me dijo que probarlo probablemente valdría una medalla de campo. Es menos difícil que la RH en el sentido de que no implica la RH.
La referencia es que no está probado en ningún libro sobre $\zeta(s)$ , y no se menciona en en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function o en.wikipedia.org/wiki/Prime_number_theorem :)
Y creo que la zeta de Hurwitz o el contraejemplo de RH construido en el libro de Titchmarsh (algo así como $e^{i\theta} L(s,\chi_5)+e^{-i\theta}L(s,\overline{\chi_5})$ ) -ambos con ecuación funcional pero sin producto de Euler- tienen una secuencia de ceros que convergen en $Re(s) = 1$ . También puede construir fácilmente un producto de Euler que tenga una secuencia de ceros que converja en $Re(s) = 1$
@ user1952009 ¿Cómo se relaciona la hipótesis débil de Riemann con la conjetura de los ceros de Landau Siegel?
¿Leer algunos libros? Y un ceros de Siegel (si existe) es un cero en $s \in (1/2,1)$ de $L(s,\chi)$ dónde $\chi$ es un personaje real y, por lo tanto, es un contraejemplo de la hipótesis generalizada de Riemann.

reencuentros · Answer 1

Aún no sabemos si $\zeta(s)$ tiene una secuencia de ceros que convergen en $Re(s)=1$ .

Hay un producto de Euler (pero que no tiene ecuación funcional) que tiene una secuencia de ceros que convergen en $Re(s) = 1$ .

Dejar

h (X) = X - \sum_{k = k}^{\infty} \frac{X^{1 - 1 / k + i k^{2}}}{1 - 1 / k + i k^{2}}

$h(x) = x-\sum_{k=K}^\infty \frac{x^{1-1/k+ik^2}}{1-1/k+ik^2}$ e iterativamente para cada número primo

q

$q$ :

a_{q} = h (q) - \sum_{pag < q} a_{pag}

$a_{q} = h(q) -\sum_{p < q} a_{p}$ Finalmente deja

a_{n} = \prod_{p | n} a_{p}

$a_n = \prod_{p | n} a_p$ y establecer

F (s) = \sum_{norte = 1}^{\infty} a_{norte} {norte}^{- s} = \prod_{pag} (1 + \sum_{k \geq 1} a_{{pag}^{k}} {pag}^{- s k}) = \prod_{pag} (1 + \frac{a_{pag}}{{pag}^{s} - 1})

$F(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s} = \prod_p (1+\sum_{k \ge 1} a_{p^k}p^{-sk} )= \prod_p \left( 1+ \frac{a_p}{p^s-1}\right)$ De modo que

registro F (s) = \sum_{pag} registro (1 + \frac{a_{pag}}{{pag}^{s} - 1}), \frac{F^{'} (s)}{F (s)} = \sum_{pag} \frac{\frac{a_{pag} {pag}^{s} en (pag)}{({pag}^{s} - 1)^{2})}}{1 + \frac{a_{pag}}{{pag}^{s} - 1}} = \sum_{pag} a_{pag} {pag}^{- s} + \sum_{pag} \sum_{k \geq 2} b_{{pag}^{k}} {pag}^{- s k}

$\log F(s) = \sum_p \log (1+ \frac{a_p}{p^s-1}), \qquad \frac{F'(s)}{F(s)} = \sum_p \frac{\frac{a_pp^{s}\ln(p)}{(p^s-1)^2)} }{1+ \frac{a_p}{p^s-1}} = \sum_p a_p p^{-s} + \sum_p \sum_{k \ge 2} b_{p^k}p^{-sk}$

Por la fórmula de suma de Abel tienes

\frac{F^{'} (s)}{F (s)} = s \int_{1}^{\infty} gramo (X) X^{- s - 1} d X, gramo (X) = \sum_{pag < X} a_{pag} + \sum_{{pag}^{k} < X} b_{{pag}^{k}}

$\frac{F'(s)}{F(s)} = s \int_1^\infty g(x) x^{-s-1}dx, \qquad g(x) = \sum_{p < x} a_p+\sum_{p^k < x} b_{p^k}$ Y la brecha principal muestra que

gramo (X) = \sum_{pag < X} a_{pag} + O (X^{1 / 2 + ϵ}) = h (X) + O (X^{1 / 2 + ϵ})

$g(x) = \sum_{p < x} a_p + \mathcal{O}(x^{1/2+\epsilon}) = h(x) + \mathcal{O}(x^{1/2+\epsilon})$ es decir

\frac{F^{'} (s)}{F (s)} + \frac{1}{s - 1} - \sum_{k = k}^{\infty} \frac{1}{s - 1 + 1 / k - i k^{2}} = s \int_{1}^{\infty} (gramo (X) - h (X)) X^{- s - 1} d X

$\frac{F'(s)}{F(s)}+\frac{1}{s-1}- \sum_{k=K}^\infty \frac{1}{s-1+1/k-ik^2} = s\int_1^\infty \left(g(x)-h(x)\right) x^{-s-1}dx$ es analítico para

R e (s) > 1 / 2

$Re(s) > 1/2$ , y por lo tanto

F (s)

$F(s)$ es meromórfico allí, con un polo en

s = 1

$s=1$ y sus ceros en

1 - \frac{1}{k} + i k

$1-\frac{1}{k}+ik$

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