¿Cuánto de la hipótesis de Riemann se ha resuelto?

La función zeta de Riemann tiene dos tipos de ceros, ceros triviales (en los enteros pares negativos,$-2$,$-4$, etc.) y los ceros no triviales. Hay infinitos ceros no triviales y se sabe que todos ellos se encuentran en la tira que tiene partes reales entre$0$y$1$(en detalle, la tira$\{x + \mathrm{i}y \in \mathbb{C} \mid 0<x<1\}$). (Que no hay ninguno en la linea$x = 1$(o más a la derecha) es el teorema de los números primos . Que luego no hay ninguno en la linea$x=0$se deduce de la ecuación funcional para la función zeta.) La conjetura es que todos los ceros no triviales se encuentran en la línea crítica ($x = \frac{1}{2}$).

[F] mostró que, de hecho, la tira se puede estrechar ligeramente. Para$|y| \geq 3$, cualquier raíz debe tener$x \in \left( \frac{1}{57.54 (\ln |y|)^{2/3} (\ln \ln |y|)^{1/3}}, 1-\frac{1}{57.54 (\ln |y|)^{2/3} (\ln \ln |y|)^{1/3}} \right)$.

[H] y [HL] mostraron que hay infinitos ceros en la línea crítica. [L] mostró que un tercio de los ceros no triviales están en la línea crítica. [C] mejoró esto a dos quintos. [BL] mostró que, [*] para cualquier distancia particular desde la línea crítica, la proporción de ceros que se alejan o disminuyen a cero a medida que permitimos un límite superior en$y$aumentar (Esta es la forma general de estos resultados. Para algunos$Y>0$, contamos raíces en la tira finita$\{x+\mathrm{i}y \mid 0 < x < 1 \text{ and } -Y < y < Y\}$. Luego mire qué fracción de ellos están en la línea crítica o están lo suficientemente lejos de la línea crítica como dejamos$Y$aumentar.)

Alrededor de 1859, Riemann calculó la ubicación de los primeros ceros y determinó que estaban en la línea crítica. Este trabajo no se publicó, pero utilizó la fórmula de Riemann-Siegel que se encuentra en un borrador de sus obras completas y se publicó en [S] (1932). En 1986, van de Lune, te Riele y Winter encontraron que los 1.500 millones de ceros de la parte imaginaria mínima positiva estaban todos en la línea crítica. Esto ha sido ampliado por [GD] (2004) a los primeros 10 billones de esos ceros.

No se conoce ningún cero no trivial en forma cerrada. (Parece bastante improbable que cualquier cero tenga una forma cerrada).

[*] La primera versión de esta línea decía "para cualquier distancia particular de la línea crítica, solo un número finito de ceros está tan lejos o más lejos de la línea". Esto no es del todo correcto. Todavía podría haber un número infinito de tales ceros, por ejemplo, el$2^\text{nd}$,$(2^2)^\text{th}$,$(2^3)^\text{th}$, y así sucesivamente las raíces son un conjunto infinito de raíces cuya proporción del número total de raíces decrece a cero.

[BL] Bohr, H.; Landau, E., "Ein Satz über Dirichletsche Reihen mit Anwendung auf die ζ-Funktion und die L-Funktionen", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 37 (1): 269–272, 1914.

[C] Conrey, JB, "Más de dos quintas partes de los ceros de la función zeta de Riemann están en la línea crítica", J. Reine angew. Math., 399: 1–16, 1989.

[F] Ford, K., "Integral y límites de Vinogradov para la función zeta de Riemann". proc. Matemáticas de Londres. Soc. 85 (3): 565–633, 2002.

[GD] Gourdon, Xavier, "La$10^{13}$primeros ceros de la función Riemann Zeta y cálculo de ceros a una altura muy grande", autopublicado , 2004. Véase también Cálculo de ceros de la función Zeta

[H] Hardy, GH, "Sur les Zéros de la Fonction ζ(s) de Riemann", CR Acad. ciencia París, 158: 1012–1014, 1914.

[HL] Hardy, GH; Littlewood, JE, "Los ceros de la función zeta de Riemann en la línea crítica", Math. Z., 10 (3–4): 283–317, 1921.

[L] Levinson, N., "Más de un tercio de los ceros de la función zeta de Riemann están en σ = 1/2", Adv. Math., 13 (4): 383–436, 1974.

[S] Siegel, CL, "Über Riemanns Nachlaß zur analytischen Zahlentheorie", Quellen Studien zur Geschichte der Math. Astron. y Phys. aprox. B: Studien 2: 45–80, 1932.