Hipótesis de Riemann: ¿es el hamiltoniano de Bender-Brody-Müller una nueva línea de ataque?

Traté de poner mi propio argumento en este blog recientemente, pero fracasé. Déjame intentar de nuevo. 1)- La definición original de$\zeta(z,x)$es

Entonces$\zeta(z,x)-\zeta(z,x-1)=-1/x^z$. Entonces, utilizando la representación integral, esta relación se extiende por analiticidad al dominio máximo en el que ambos lados están definidos y son holomorfos. Para nuestro propósito, es suficiente considerar$x>0$y$\Re{z}>0$. Dejar$\zeta_z$denota el mapa$x\to \zeta(z,x)$. Entonces, usando el generador$A$del operador de dilatación, es fácil comprobar que los valores propios tienen la forma$1/2+\imath E$. Para$A=(pq+qp)/2=-\imath xd/dx-\imath 1/2$. Esto da$A(1/x^z)=\imath (z-1/2)(1/x^z)$. Ir desde$A$a$H$se hace usando el operador$\Delta$, lo que lleva a la ecuación formal$H\zeta_{1/2+\imath E}=E\zeta_z$. La bc de Dirichlet en el origen obliga a E a satisfacer$\zeta(1/2+\imath E)=0$.

2)- El primer problema que le veo es que$\zeta_z$no parece pertenecer al espacio de Hilbert${\mathcal H}=L^2(0,\infty)$. Usando un método clásico de Hadamard

que converge para$\Re{z}>1$. Usando la representación integral, se puede obtener una firmula similar, pero no pude demostrar que la integrabilidad cuadrada se mantiene para$\Re{z}=1/2$. Por lo tanto, veo un problema aquí.

3)- El otro problema es la definición de$\Delta$. Dejar$S$denotan el operador de traducción, definido no rigurosamente por$Sf(x)=f(x-1)$. Si se restringe a$\mathcal H$, no es unitario, porque se define sólo para$x>1$. Podemos definirlo imponiendo$Sf(x)=0$para$x\in [0,1]$. Entonces es sólo una isometría parcial. Para$S^\ast f(x)=f(x+1)$llevando a$S^\ast S=I$, pero$S S^\ast =P$es la proyección sobre$L^2(1,\infty)$. Usando estas notaciones$\Delta= I-S=(S^\ast-I)S$. Pero tenemos un problema aquí: la función$\zeta_z$se define para$x>-1$, y la extensión del intervalo$(-1,0]$se usa explícitamente en 1)-. Entonces no podemos usar$S$. Pero entonces, ¿cuál es el operador?$e^{-\imath \hat{p}}$utilizado por los autores?

4)- Si$\hat{p}$es el operador habitual

entonces hay un problema con su dominio de definición. En$L^2(\mathbb R)$, es autoadjunto como se puede ver usando la transformada de Fourier. pero en$\mathcal H$, No lo es. Este es un ejercicio clásico que se encuentra en el libro muy antiguo de Courant-Hilbert. Es decir, uno siempre puede definirlo en el conjunto de$L^2$funciones con$L^2$derivada, desapareciendo en$x=0$. Entonces es simétrico. Si es así, su adjunto se define en el mismo espacio pero sin desaparecer en$x=0$. No solo el adjunto no es simétrico, sino que su conjunto de valores propios es el semiplano inferior abierto. Esto es porque si$f_z(x)=e^{zx}$, entonces$\hat{p}^\ast f_z=-\imath z f_z$, mientras$f_z\in \mathcal{H}$para$\Re{z}<0$. El mismo argumento muestra que$+\imath$no puede ser un valor propio. Esto significa que los "índices de defectos", es decir, la dimensión de los espacios propios con valores propios$\pm\imath$, no son iguales. Entonces, el teorema de von Neumann muestra que el operador$\hat{p}$no tiene extensión selfajoint. Si no es autoadjunto, la definición de su exponencial se convierte en un problema, porque el cálculo funcional no está definido en general.

5)- El argumento anterior se puede reformular en términos del operador$S$. Su adjunto admite muchos valores propios, a saber, los puntos dentro del disco unitario.

En conclusión, el descuido de las definiciones utilizadas pero los autores conducen a un completo desbarajuste. Nada es correcto en este documento.

Mientras los físicos usen álgebra o argumentos algorítmicos, pueden encontrar resultados sobresalientes. Pero cuando se trata de análisis, pueden perder el juicio y graves errores aparecen en la esquina. El análisis no se presta fácilmente a las descripciones algorítmicas. Y aquí es precisamente donde radica el poder de las Matemáticas: al manipular infinitos, las Matemáticas van mucho más allá de la definición de computabilidad de Church-Turing. ¿Y qué es el Análisis sino manipular infinitos, a través de límites, convergencias y cosas por el estilo?

No tengo todo escrito en este documento.

Pero tenga en cuenta que esta línea de ataque tiene buenas posibilidades de ser demasiado simple: todo esto funciona igual para$F(s) = \alpha L(s,\chi_5)+\overline{\alpha}L(s,\overline{\chi_5})= 2\sum\limits_{n=1}^\infty \Re(\alpha \;\chi_5(n)) n^{-s}$dónde$\chi_5$es el módulo del personaje no real$5$y$\alpha \in \mathbb{C}$.

$F(s)$tiene el mismo tipo de representación integral y ecuación funcional que$\zeta(s)$, por lo que podemos escribir para él el mismo tipo de operador diferencial. Pero el RH obviamente falla por$F(s)$(no tiene un producto de Euler)

Es un artículo interesante. El principal problema que puedo ver es que su condición límite invoca la función zeta en sí misma, por lo que este enfoque puede estar incorporando la propia RH desde el principio. El enfoque no parece aportar nada profundo sobre los primos ni la teoría de los números.

Habiendo trabajado en este problema durante varios años, sigo siendo escéptico sobre la idea de Hilbert-Polya. Berry-Keating hizo un trabajo muy interesante e importante. Sin embargo, la conexión de la teoría de la matriz aleatoria parece arrojar dudas sobre Hilbert-Polya en lugar de respaldarla: si las estadísticas de los ceros pueden explicarse mediante la teoría de la matriz aleatoria, es difícil imaginar un hamiltoniano simple, no aleatorio, que reproduzca esta teoría . espectro. Pero esto no es un contraargumento riguroso, por supuesto.

El artículo en cuestión está escrito en el nivel físico de rigor, está publicado en una revista de física y no parece afirmar que establece resultados matemáticamente rigurosos. Sin embargo, no estoy convencido por las críticas hasta el momento de que sea imposible convertir la idea principal del artículo en un enunciado matemáticamente bien definido.$L^2$problema espectral cuya solución implicaría HR.

Tal vez algo como lo siguiente puede funcionar.

1) Las funciones propias$\psi_z(x)$de$\hat{H}$de hecho no están en$L^2(0, \infty)$pero parece que uno puede mapear los que corresponden a los ceros no triviales de$\zeta$como sigue. Dejar$w(x)$Sea una función suave positiva en$(0,\infty)$que coincide con$1/x$cerca$0$y con$1/x^{\frac{3}{2}}$cerca del infinito y dejar$\hat{W}$Sea el operador dado por la multiplicación con$w$. Entonces$\hat{W}\psi_z \in L^2(0, \infty)$si y solo si$z$es un cero no trivial de la función zeta de Riemann. En efecto,$\hat{W}\psi_z$es integrable en$0$si y solo si$\psi_z(0)=0$, es decir, si$z$es un cero de$\zeta$. Además, las propiedades asintóticas conocidas de la función zeta de Hurwitz (ya mencionada en el artículo de BBM, a saber, el crecimiento sublineal para$z$en la franja crítica y un crecimiento mucho más rápido cuando$z$es un cero trivial) implica que$\hat{W}\psi_z$es integrable al cuadrado en el infinito solo cuando el cero$z$no es trivial. (El comportamiento de$\psi_z(x)$en el infinito también se analiza en el documento de comentarios de Jean Bellissard arxiv.org/abs/1704.02644, utilizando la representación integral de la función zeta de Hurwitz).

2) Ahora considere el operador$\hat{H}_W=\hat{W}\hat{H}\hat{W}^{-1}$, de modo que, al menos formalmente,$\hat{W}\psi_z$son funciones propias de$\hat{H}_W$por cada cero no trivial$z$. Para hacer esto riguroso, uno tiene que demostrar que$\hat{H}_W$es un operador cerrable densamente definido en$L^2(0,\infty)$y eso$\hat{W}\psi_z$están en el dominio de su clausura. (Eso, por supuesto, incluiría resolver algunos tecnicismos con respecto a la definición adecuada y el dominio de$\hat{\Delta}^{-1}$, el inverso del operador diferencia considerado en el documento de BBM, pero no veo por qué esto sería a priori imposible).

3) Suponiendo que se puede hacer lo descrito en 2), se obtiene una incrustación de los ceros no triviales en el espectro discreto de$\hat{H}_W$. Ahora se sabe que el hamiltoniano de Berry-Keating$\hat{x} \hat{p} + \hat{p} \hat{x}$es autoadjunto y, por lo tanto, tiene un espectro real, por lo que uno puede intentar usar el hecho de que$\hat{H}_W$es parecido a$\hat{x} \hat{p} + \hat{p} \hat{x}$obtener estimaciones sobre el operador resolutivo que impliquen que el espectro de$\hat{H}_W$está contenida en el espectro de$\hat{x} \hat{p} + \hat{p} \hat{x}$.

Finalmente, por supuesto que puede ser que$\hat{H}_W$tiene muchos otros espectros, incluido el complejo, mientras que su espectro discreto es real, por lo que la RH aún puede ser verdadera pero no accesible a través de esta línea de ataque.

En mi respuesta anterior, dejé de lado la cuestión de cómo uno puede dar sentido rigurosamente a los operadores.$\hat{\Delta}=1-e^{-i \hat{p}}$y$\hat{\Delta}^{-1}=(1- e^{-i \hat{p}} )^{-1}$utilizado en el documento de BBM. Me gustaría profundizar un poco en esto.

1) Como es bien conocido (y explicado en la respuesta de Jean Bellissard) el operador de impulso$\hat{p}$no admite extensiones autoadjuntas en$L^2(0,\infty)$, por lo tanto, uno no puede usar (al menos no directamente) el cálculo funcional para dar sentido a$\hat{\Delta}$. En el periódico BBM$\hat{\Delta}$se interpreta como un operador de diferencia y$\hat{\Delta}^{-1}$como su inversa definida a través de series infinitas (aparentemente, siguiendo a Euler bastante de cerca), pero este enfoque no es satisfactorio por muchas razones.

2) Sería mucho más apropiado para la idea general de cuantización pensar en$\hat{\Delta}$y$\hat{\Delta}^{-1}$como operadores pseudodiferenciales. Dado que esto no se puede hacer directamente, sugiero proceder de la siguiente manera, utilizando las funciones de corte apropiadas para obtener símbolos con un soporte suave y compacto. Dejar$\kappa_{\varepsilon}(p)$ser una familia de funciones en$C^{\infty}_{c}(\mathbb{R})$que es 1 en$[-1/ \varepsilon, 1/ \varepsilon]$y$0$fuera de este intervalo, de modo que$\kappa_{\varepsilon} \rightarrow 1$como$\varepsilon \rightarrow 0$. Dejar$\hat{\Delta}_{\varepsilon}$sea ​​la familia de operadores pseudodiferenciales (de hecho suavizantes) con símbolos$(1-e^{-i p})\kappa_{\varepsilon}(p)$. Además, deja$\chi_{\varepsilon}(p)$ser otra familia en$C^{\infty}_{c}(\mathbb{R})$cual es$0$en$[-\varepsilon, \varepsilon]$así como fuera$[-1/ \varepsilon, 1/ \varepsilon]$y 1 en el medio, por lo que todavía uno tiene$\chi_{\varepsilon} \rightarrow 1$como$\varepsilon \rightarrow 0$. Dejar$\hat{\Delta}_{\varepsilon}^{-1}$sea ​​la familia de operadores pseudodiferenciales con símbolos$(1-e^{-i p})^{-1}\chi_{\varepsilon}(p)$. (Hay mucha investigación sobre operadores pseudodiferenciales en la línea media y sospecho que parte de ella puede ser muy relevante para este contexto particular).

3) Ahora un límite apropiado (digamos, límite de gráfico débil) como$\varepsilon \rightarrow 0$de estas familias de operadores pueden existir o no, pero incluso si no existe, me parece plausible que se pueda demostrar que las relaciones formales entre$\hat{\Delta}$,$\hat{\Delta}^{-1}$y la función zeta de Hurwitz dada en el artículo de BBM se mantiene "asintóticamente" como$\varepsilon \rightarrow 0$. Por lo tanto, lo mismo debería ser cierto para la ecuación formal de valor propio/función propia, de modo que si uno define$\hat{H}_{\varepsilon}=\hat{\Delta}_{\varepsilon}^{-1}(\hat{x} \hat{p} + \hat{p} \hat{x})\hat{\Delta}_{\varepsilon}$, uno tendría

4) Finalmente, uno puede mirar los operadores$\hat{H}_{\varepsilon,W}=\hat{W}\hat{H}_{\varepsilon}\hat{W}^{-1}$, dónde$\hat{W}$se definió en mi respuesta anterior. La realidad deseada de los valores propios se seguiría entonces de un uniforme (en$\varepsilon$) obligado por las normas de los operadores resolutivos de$\hat{H}_{\varepsilon,W}$por cada fijo no real$z$. Existen condiciones suficientes bien conocidas para la$L^2$-acotación de un operador pseudodiferencial en términos de su símbolo.

Soy un teórico de números que ha reflexionado sobre la hipótesis de Riemann durante muchos años. Este documento tiene errores elementales y hay contraejemplos simples al enfoque adoptado. No se habría publicado en una revista de matemáticas, y estoy decepcionado (pero no sorprendido) de que se haya publicado en PRL. Bellissard ha enumerado algunos de los errores en el análisis (ver arXiv:1704.02644) y las locuras de la teoría de números serían claras para cualquier estudiante de posgrado en el campo.

Es interesante desde el punto de vista sociológico que tantos físicos de renombre estén blogueando o tuiteando sobre esto cuando simplemente podrían consultar a expertos en sus universidades. Para esos expertos, esto es una broma.

Un día oscuro para la ciencia.

Algunas de las principales discrepancias con respecto a la conjetura de Bender-Brody-Müller (BBM) se relacionan con el dominio del operador y la convergencia del espectro propio. Al considerar el problema como un operador de Schrödinger, se puede obtener un espectro propio convergente. Estas soluciones se analizan aquí y aquí .

Solo un pensamiento que me gustaría desarrollar aquí, inspirado en la respuesta de @AndréLeClair (es demasiado largo para un comentario).

La pregunta básica es: ¿Cuál es la conexión entre la teoría de matrices aleatorias (donde se recuperan algunas estadísticas básicas de los ceros de la función zeta) y la (apenas)$\mathcal{PT}$operador simétrico (en lugar de auto-adjunto) de Bender-Brody-Müller (BBM)?

Parece que, idealmente , la teoría de la matriz aleatoria sería exactamente la formulación de la matriz de Heisenberg de la formulación del "tipo Schrödinger" de BBM.

¿Es posible que eso sea cierto teniendo en cuenta que el operador de BBM se ve tan$non$-$random$?

Tal vez: el principio de incertidumbre de Heisenberg nos dice que ningún objeto cuántico puede tener un momento y una posición definidos en el mismo estado. Medir el impulso y la posición uno después del otro conduce inevitablemente a un resultado para el cual solo se pueden dar distribuciones de probabilidad en lugar de valores definidos.

¿Tendría sentido interpretar los operadores Berry-Keating (o derivados) que contienen productos$\hat{p}\hat{x}$tal que uno forzaría al sistema a estados propios con un producto localizado (definido) de cantidad de movimiento y posición? Uno entonces tendría que leer estos términos como$\hat{p}(\hat{x}(\psi))$Lo que lleva a una especie de estado paradójico, que ya se refleja en que estos operadores no son autoadjuntos.

(No estoy seguro si este argumento ya ha sido considerado por BBM).

Podemos probar la hipótesis de Riemann usando el operador$\hat{G} + \hat{G}^\dagger$, definido como

Si$r$y$s$son ceros de la zeta de Riemann con partes reales mayores que$\frac{1}{2}$, podemos demostrar que$\hat{p}$es auto adjunto y eso

Esta ecuación es válida si$s$es un cero de Riemann zeta con parte real mayor que$\frac{1}{2}$. Entonces, si asumimos que existe un cero con parte real mayor que$\frac{1}{2}$, entonces el valor propio$-i\hbar (1 - 2s)$tiene que ser real, por lo que la parte real de$s$tiene que ser$\frac{1}{2}$. Esta contradicción significa que no puede haber ceros con parte real mayor que$\frac{1}{2}$. ¡La hipótesis de Riemann es cierta!

Editar: la última ecuación seguiría siendo válida para$s$no siendo un cero de Riemann zeta. Pero entonces$\hat{G}^\dagger = \hat{\Delta}_-\hat{x}\hat{\Delta}_+ \hat{p}$no sería el hermitiano de$\hat{G} = \hat{p}\hat{\Delta}_-\hat{x}\hat{\Delta}_+$y luego$\left< \varphi_s \left| \hat{G} + \hat{G}^\dagger \right| \varphi_s \right>$probablemente no sería real. Puede leer en mi artículo por qué la ermitancia está ahí para la condición de contorno$\varphi_s(1) = \zeta(s) = 0$con$Re(s) > \frac{1}{2}$.

La situación actual es la siguiente. El proyecto zetagrid ya no existe. La función Z tiene un polo en Re (z) = 1, pero es analítica para Re (z) > 1 y divergente para Re (z) < 1. Riemann extendió analíticamente la función para que pudiera ser analítica en la región 0 < Re (z) < 1, que es lo que se conoce como franja crítica o intervalo de investigación. Donde tenemos que para Re (z) = 1/2 hay infinitos ceros (Hardy, 1914) y se supone (RH) que todos los ceros de la Z están ahí. Sin embargo, en noviembre de 2017, este servidor mostró que existen infinitos ceros de la Z en el intervalo crítico distribuidos en diferentes familias de líneas, ¡con lo cual la Hipótesis de Riemann es falsa! Además, se confirmó la existencia de los ceros por reflexión predichos por la ecuación funcional de Riemann y según los cuales si en el intervalo 0 <Ingrese la descripción de la imagen aquí 0.44 + 1977.19-> 0.56 + 1977.19 0.45 + 1329.09-> 0.55 + 1329.09 0.45 + 1415.59-> 0.55 + 1415.59 0.46 + 25.0-> 0.54 + 25.0 0.46 + 37.6-> 0.54 + 37.6 0.47 + 14.09-> 0.53 + 14,09 0,47 + 21,0-> 0,53 + 21,0 0,48 + 14,09-> 0,52 + 14,09 0,48 + 21,0-> 0,52 + 21,0 0,49 + 14,09-> 0,51 + 14,09 0,49 + 21,0-> 0,51 +

todos ellos son ceros de la Z (por reflexión), que tampoco están en la línea Re (z) = 1/2, como es fácil de ver y verificar usando mis expresiones para la función Z. Te dejo esa tarea a ti.