Hipótesis de Riemann y la función Zeta

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Hipótesis de Riemann y la función Zeta

Matemáticas
riemann-zeta
hipótesis de riemann

Sr. N

He estado leyendo sobre la RH recientemente y entendí la mayor parte hasta ahora. Sin embargo, el mayor problema que tengo es saber cuáles son las formas de la función zeta de Riemann para las 3 regiones principales en el plano complejo, $\Re(s) <-1$ , $0 \le \Re(s) < 1$ , y para $\Re(s)> 1$ . Además, he visto que zeta se puede definir como la siguiente integral.

\frac{1}{Γ (s)} \int_{0}^{\infty} \frac{X^{s - 1}}{{mi}^{X} - 1} d X,

$\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x-1}\, \mathrm{d}x,$

¿La función zeta está definida en todo el plano complejo, excepto $1$ ? ¿Y sobre los otros? Además, ¿existen otras integrales para zeta, algunas cuyos límites de integración son diferentes de cero e infinito?

Masón

Sí. el dominio de

ζ

$\zeta$ es

C ∖ {1}

$\mathbb{C} \setminus\{1\}$

Sr. N

Oh, gracias de nuevo, Mason

Masón

Es difícil saber lo que ya has visto. La función zeta está bien estudiada y existen muchas formulaciones diferentes. Wikipedia , Wolfram alfa , Wolfram alfa otra vez

Sr. N

¿Recomiendas algún libro?

Masón

Realmente no estoy lo suficientemente bien informado en este tema para recomendar un texto. Y depende en gran medida de tus conocimientos e intereses matemáticos. Lo mejor que puedo hacer por ti es diferir .

Klangen

Existen diferentes expresiones para la función Zeta para esas regiones. Esto se debe a la continuación analítica, ya que la serie de Dirichlet no converge para ningún

ℜ (s) <= 1

$\Re(s)<=1$ . En esas regiones se encuentran versiones "extendidas" de

ζ

$\zeta$ .

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Hipótesis de Riemann y la función Zeta

Es difícil saber lo que ya has visto. La función zeta está bien estudiada y existen muchas formulaciones diferentes. Wikipedia , Wolfram alfa , Wolfram alfa otra vez
Realmente no estoy lo suficientemente bien informado en este tema para recomendar un texto. Y depende en gran medida de tus conocimientos e intereses matemáticos. Lo mejor que puedo hacer por ti es diferir .
Existen diferentes expresiones para la función Zeta para esas regiones. Esto se debe a la continuación analítica, ya que la serie de Dirichlet no converge para ningún $\Re(s)<=1$ . En esas regiones se encuentran versiones "extendidas" de $\zeta$ .

Alfombrillas Granvik · Answer 1

De la imagen en el video de youtube de numberphile a partir de las 11:44

ζ (s) = \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{1}{{norte}^{s}} = \prod_{pag principal} \frac{{pag}^{s}}{{pag}^{s} - 1}, ℜ (s) > 1

$\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}=\prod\limits_{p \text{ prime}}\frac{p^s}{p^s-1}, \;\;\;\;\; \Re(s)>1$

ζ (s) = (1 - 2^{1 - s}) \sum_{norte = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{norte + 1}}{{norte}^{s}}, 0 < ℜ (s) < 1

$\zeta(s)=(1-2^{1-s})\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^s}, \;\;\;\;\; 0<\Re(s)<1$

ζ (s) = ((2^{s} π^{s - 1} pecado (\frac{π s}{2}) Γ (1 - s)) ζ (1 - s), ℜ (s) < 0

$\zeta(s)=\left((2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)\right)\zeta(1-s),\;\;\; \Re(s)<0$

Existe esta relación integral en el OEIS:

(1 - \frac{1}{2^{s - 1}}) ζ (s) Γ (s + 1) = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{{mi}^{X^{1 / s}} + 1} d X, ℜ (s) > 0

$\left(1-\frac{1}{2^{s-1}}\right) \zeta (s) \Gamma (s+1)=\int_0^{\infty } \frac{1}{e^{x^{1/s}}+1} \, dx, \;\;\;\; \Re(s)>0$

Oh gracias. Ya lo había visto, antes de preguntar. Mi pregunta estaba relacionada con las formas integrales de Zeta y su dominio. Por cierto, ¿conoces alguna forma integral de Zeta en la tira crítica?
Es posible que encuentre algo en el OEIS si observa la expansión decimal de Zeta[2] oeis.org/A013661
Pruebe también estos: functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta/07
Y luego también está la fórmula truncada de Euler Maclaurin para la función zeta de Riemann si te gusta la simplicidad: $ζ (s) = \underset{k \to \infty}{límite} (\sum_{norte = 1}^{k} \frac{1}{{norte}^{s}} + \frac{1}{(s - 1) k^{s - 1}}), ℜ (s) > 0$ $\zeta(s)=\lim_{k\to \infty } \, \left(\sum _{n=1}^k \frac{1}{n^s}+\frac{1}{(s-1) k^{s-1}}\right), \;\;\;\; \Re(s)>0$ Pero eso, por supuesto, no es una integral.

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Masón

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Masón

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