Ceros no triviales fuera de la línea crítica

Si los ceros no triviales se encuentran fuera de la línea crítica (como se muestra en la imagen a continuación),

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¿tendrían que venir en grupos de cuatro en lugar de pares conjugados (como muestra el diagrama)?

Supongo que lo harían, ya que ∑ ρ li ( X ρ ) es condicionalmente convergente, y se entiende que significa ∑ ρ | li ( X ρ ) + li ( X 1 − ρ ) | , y desde 1 − ( σ + b i ) y su par solo cancela términos imaginarios cuando σ = 1 2 , (si s = 1 4 + b i , entonces 1 − s = 3 4 − b i ), presumiblemente tendrían que venir en cuatro, por ejemplo: s 1 = 1 4 + b i , 1 − s 1 = 3 4 − b i , s 2 = 3 4 + b i , 1 − s 2 = 1 4 − b i .

Mi segunda pregunta: ¿es posible que haya ceros en la franja crítica con exactamente el mismo valor imaginario?

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Acabo de jugar un poco y es más fácil visualizar cómo podría suceder esto en una gráfica de contorno de ξ ( σ + b i ) :

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Sí a su primera pregunta, esto se deduce de la ecuación funcional para la función zeta. Dado esto, su segunda pregunta es esencialmente la Hipótesis de Riemann (cuya respuesta no conozco).
Gracias - bueno para confirmar una duda :)

Respuestas (1)

Si s es un cero no trivial de ζ fuera de la línea crítica entonces los cuatro números { s , s ¯ , 1 − s , 1 − s ¯ } serían todos ceros no triviales fuera de la línea. Nota 1 − s ¯ es la imagen de s a través de la línea crítica, por lo que están muy juntos, pero s ¯ es la imagen de s a través del eje real, que no se verá cerca de s . Su imagen incluso representa un par de ceros no triviales en la parte superior con un par correspondiente en la parte inferior. Así que sí, los ceros no triviales fuera de la línea crítica vienen en paquetes de cuatro.

Hay dos ceros no triviales con la misma parte imaginaria si y solo si existe un cero no trivial fuera de la recta. Porque si tales dos ceros existieran, ambos no pueden tener la misma parte real (de lo contrario, serían el mismo número complejo), por lo que uno de ellos debe tener parte real. ≠ 1 / 2 , por lo tanto, debe ser no trivial y fuera de línea. Por el contrario, si hay un cero no trivial ρ fuera de la línea entonces 1 − ρ ¯ también será un cero y tendrá la misma parte imaginaria.

No sabemos si hay ceros no triviales fuera de la línea crítica. Este es el tema de la hipótesis de Riemann, que es un problema de Millenium que literalmente vale un millón de dólares.

Gracias por su respuesta. Entonces, ¿esto es básicamente una reafirmación de la hipótesis?
Ceros no triviales fuera de la línea crítica
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