¿Por qué esta ecuación para el movimiento orbital no cambia con la posición en la órbita?

La velocidad de la basura espacial en órbita es un vector, con una componente radial y otra tangencial.

$$\vec{v}_f = \dot{r}_f\hat{r} + r_f\dot{\theta}_f\hat{\theta}$$

(mi$r_f$es tuyo$r$) La ecuación para la conservación del momento angular involucra solo la componente tangencial de la velocidad, porque proviene del producto vectorial del radio vector y la velocidad.

$$\vec{L}_f = m\vec{r}_f\times\vec{v}_f = mr_f\hat{r}\times\bigl(\dot{r}_f\hat{r} + r_f\dot{\theta}_f\hat{\theta}\bigr) = mr_f(r_f\dot{\theta}_f)\hat{z} = mr_fv_f\hat{z}$$

Pero la ecuación para la conservación de la energía implica ambos componentes.

$$E_f = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{GMm}{r_f} = \frac{1}{2}m\dot{r}_f^2 + \frac{1}{2}mr_f^2\dot{\theta}_f^2 - \frac{GMm}{r_f}$$

La combinación$r_F\dot{\theta}_f$corresponde a su$v_f$, pero a la ecuación tal como la escribiste en la pregunta le falta el$\frac{1}{2}m\dot{r}_f^2$término, que corresponde a la energía del movimiento hacia o desde la luna. En apapsis y periapsis (puntos más lejanos y más cercanos de la órbita),$\dot{r}_f = 0$momentáneamente, por lo que puede ignorar este término, como se hace en el problema sobre el que está preguntando. Pero para otros puntos de la órbita, ese término es distinto de cero, lo que significa que tienes una variable adicional. Eso le impide encontrar una solución única sin especificar en qué punto de la órbita se encuentra.