Pregunta de tarea: calcular el radio y la masa del planeta a partir de la velocidad y el tiempo

Question

Pregunta de tarea: calcular el radio y la masa del planeta a partir de la velocidad y el tiempo

el herrero de la idea

Considere un planeta y un sol que giran alrededor de su centro de masa . El sol tiene una masa de 0,9 de la masa de nuestro sol.

Debo calcular la masa del planeta en términos de la masa de Júpiter y el radio orbital del planeta en términos del radio de la Tierra. No entiendo qué significa este radio. ¿No son las órbitas elípticas, o las órbitas alrededor de un centro de masa son realmente circulares?

Sé que el período de la órbita del sol en el problema es de 1500 días y su velocidad máxima en la línea de visión es $70m/s$ y el minimo es $-70m/s$

He intentado un montón de enfoques, pero no puedo hacer que nada funcione.

Primero, la masa y la velocidad del planeta son $m_p, v_p$ y de la estrella $m_s, v_s$ . Entonces conservando el momento angular

L_{s_{i}} + L_{s i} = L_{pag F} + L_{s F}

$L_{s_i}+L_{si} = L_{pf} + L_{sf}$ También es cierto que la masa total del sistema

M = m_{p} + m_{s}

$M = m_p + m_s$ . Además, podemos describir el período de la órbita con la ecuación

$T^2GM = 4\pi^2r^3$ dónde $r$ es el radio de la órbita.

Ahora, para la primera ecuación, en realidad no sabemos cuál es la velocidad final de la estrella a menos que introduzcamos la energía cinética y potencial.

Luego escribir la ecuación (muy larga) para la energía

$\frac{1}{2}m_pv_{pi}^2 + \frac{1}{2}m_sv_{si}^2 + U_{pi} + U_{si} = \frac{1}{2}m_pv_{pf}^2 + \frac{1}{2}m_sv_{sf}^2 + U_{pf} + U_{sf}$

Queremos resolver la masa y el radio de rotación del planeta. Tenemos cuatro incógnitas $v_{pi,f}$ , $r_p, r_s$ y tiene tres ecuaciones. ¿Qué debo hacer? Editar

La cuarta ecuación se puede escribir como $a_{red} = \frac{v^2}{r}$ donde r es el radio reducido y la aceleración es la de la masa reducida.

floris

Quiero comprobar un par de puntos. Primero, está suponiendo una órbita circular (de lo contrario, el "radio" de la órbita no tiene sentido). Además, cuando dices "El sol tiene una masa de 0,9 de la masa del sol", te refieres a "el sol en este problema... el sol en el sistema solar de la Tierra", ¿verdad? Finalmente, para esto: "Sé que el período de la órbita del sol es de 1500 días". ¿Quiere decir "órbita de este planeta y este sol"?

floris

Si puede ignorar el hecho de que está orbitando alrededor del baricentro, puede ignorar la masa. Pero cuando su planeta tiene una gran masa, afecta la ubicación del centro aparente de rotación (frente a la distancia al sol). ¿Podría ser esto lo que te da la ecuación que falta?

floris

Finalmente, ¿cómo se llama la "velocidad de la línea de visión"? Es eso

ω r^{'}

$\omega r'$ dónde

r^{'}

$r'$ es el radio reducido (al baricentro)?

el herrero de la idea

Sí, la velocidad de la línea de visión es el radio reducido

r^{'}

$r'$ . En cuanto a su segundo comentario, escribiríamos entonces la ecuación

x_{c o m} = \frac{d_{p} m_{p} + d_{s} m_{s}}{M}

$x_{com} =\frac{d_pm_p+d_sm_s}{M}$ dónde

d_{p}

$d_p$ y

d_{s}

$d_s$ Cuáles son las distancias al centro del planeta y el sol?

floris

A ver si te ayuda este artículo sobre masa reducida ...

el herrero de la idea

@Floris, ¿le importaría intentar responder completamente a mi pregunta? Parece que no puedo resolverlo por mi cuenta

floris

Tal vez más tarde esta noche...

Respuestas (1)

Pregunta de tarea: calcular el radio y la masa del planeta a partir de la velocidad y el tiempo

Quiero comprobar un par de puntos. Primero, está suponiendo una órbita circular (de lo contrario, el "radio" de la órbita no tiene sentido). Además, cuando dices "El sol tiene una masa de 0,9 de la masa del sol", te refieres a "el sol en este problema... el sol en el sistema solar de la Tierra", ¿verdad? Finalmente, para esto: "Sé que el período de la órbita del sol es de 1500 días". ¿Quiere decir "órbita de este planeta y este sol"?
Si puede ignorar el hecho de que está orbitando alrededor del baricentro, puede ignorar la masa. Pero cuando su planeta tiene una gran masa, afecta la ubicación del centro aparente de rotación (frente a la distancia al sol). ¿Podría ser esto lo que te da la ecuación que falta?
Finalmente, ¿cómo se llama la "velocidad de la línea de visión"? Es eso $\omega r'$ dónde $r'$ es el radio reducido (al baricentro)?
Sí, la velocidad de la línea de visión es el radio reducido $r'$ . En cuanto a su segundo comentario, escribiríamos entonces la ecuación $x_{com} =\frac{d_pm_p+d_sm_s}{M}$ dónde $d_p$ y $d_s$ Cuáles son las distancias al centro del planeta y el sol?
@Floris, ¿le importaría intentar responder completamente a mi pregunta? Parece que no puedo resolverlo por mi cuenta

floris · Answer 1

No entiendo lo que significa este radio. ¿No son las órbitas elípticas, o las órbitas alrededor de un centro de masa son realmente circulares?

Creo que tendrá que asumir una órbita circular; de lo contrario, "radio" no tiene significado como lo señala correctamente.

En cuanto al cuerpo principal de su pregunta, creo que lo está haciendo más difícil de lo que debe ser.

Se le pide que calcule el radio en términos del radio de la Tierra. Ahora sabemos por las Leyes de Kepler que

T^{2} GRAMO METRO = 4 π^{2} r^{3}

$T^2 GM = 4 \pi^2 r^3$

De acuerdo con este artículo sobre problemas gravitacionales de dos cuerpos , para el caso en que la masa del planeta no sea despreciable en comparación con la masa del "sol", simplemente reemplazamos $M$ con $M+m$ ; ahora podemos escribir la primera ecuación para la masa y el radio orbital del planeta:

\begin{matrix} (1) & \frac{T_{mi}^{2} GRAMO {METRO}_{s}}{r_{mi}^{3}} = \frac{T_{pag}^{2} GRAMO (0.9 {METRO}_{s} + {metro}_{pag})}{r_{pag}^{3}} \end{matrix}

$\frac{T_e^2 G M_s}{r_e^3} = \frac{T_p^2~ G ~(0.9~ M_s + m_p)}{r_p^3}\tag1$

Solo hay dos incógnitas en esta ecuación: $r_p$ y $m_p$ .

A continuación, dado que tiene la velocidad de la línea de visión y el período, la distancia $r_p$ del planeta al centro de rotación sigue inmediatamente:

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} v & = ω r_{pag} = \frac{2 π r_{pag}}{T} \\ \Rightarrow r_{pag} & = \frac{v T}{2 π} \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align}v &= \omega r_p = \frac{2\pi r_p}{T}\\ \Rightarrow r_p &= \frac{vT}{2\pi}\end{align}\tag2$

Ahora que tienes $r_p$ puedes sustituir en (1) y eso debería darte tu respuesta.

Convertirlos al radio de la Tierra y la masa de Júpiter debería ser sencillo. Podría valer la pena calcular qué tan diferente sería la respuesta si pudieras suponer que el planeta es "ligero", entonces el caso simple de la ley de Kepler nos diría

\frac{r_{pag}}{r_{mi}} = {(\frac{1500}{365.25})}^{\frac{2}{3}} \approx 2.56

$\frac{r_p}{r_e}=\left(\frac{1500}{365.25}\right)^{\frac23}\approx 2.56$

Esta no es la respuesta a su pregunta, pero ¿qué tan lejos está de la respuesta que obtiene de lo anterior? Antes de hacer el cálculo, pregúntese esto: ¿espera que el número sea mayor o menor?

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floris

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