¿Por qué la primera ley de Newton no se cumple en esta pregunta?

Estaba haciendo la primera pregunta en este pdf . A continuación se muestra la pregunta y el comienzo de su solución:

1. Consulte la figura 1(a). Un proyectil de masa$m$es disparado desde la superficie de la tierra en un ángulo$\alpha$de la vertical La velocidad inicial$v_0$es igual a$\sqrt{GM_e/R_e}$. ¿Qué altura sube el proyectil? Desprecie la resistencia del aire y la rotación de la tierra.

Pista: ¡No trates de resolver la órbita! En su lugar, utilice las leyes de conservación directamente.

Usamos la conservación del momento angular. El momento angular inicial es

$$J_{init} = Rv_0 \sin \alpha \text{ into the page.}$$ El momento angular en el punto máximo es $$J_{top} = r_{max}v_1 \text{ into > the page,}$$ y la velocidad es puramente tangente a la superficie terrestre en este punto. Igualando estas cantidades se obtiene una fórmula para $v_1$en cuanto a otras cosas: $$v_1 = Rv_0 \sin \alpha /r_{max} \text{.}$$

Como se ve, su primer paso es usar la conservación del momento angular, lo que les permite encontrar la velocidad final. Sin embargo, aunque entiendo por qué esto es válido, no entiendo por qué es necesario. En el movimiento ordinario de un proyectil, el punto más alto de la trayectoria de un proyectil es cuando$v_1=v_0\sin\alpha$. Como hice la pregunta yo mismo, simplemente sustituí eso en la ecuación de conservación de energía, llegando a