¿Por qué está ds2=0ds2=0ds^2=0 a lo largo de la trayectoria de un rayo de luz en cualquier espacio-tiempo, en cualquier marco de referencia, específicamente no inercial?

Question

¿Por qué está ds2=0ds2=0ds^2=0 a lo largo de la trayectoria de un rayo de luz en cualquier espacio-tiempo, en cualquier marco de referencia, específicamente no inercial?

EdRich

En el espacio-tiempo de Minkowski de la relatividad especial, es evidente que a lo largo de la trayectoria de un rayo de luz $ds^2=0$ en cualquier marco de referencia inercial dadas las transformaciones de Lorentz y la invariancia de $ds^2$ . Sin embargo, esto no me parece tan evidente en el contexto de un espacio-tiempo curvo dado que todos los marcos de referencia, que yo sepa, no son inerciales. He visto que esto se toma como un hecho en el contexto de espaciotiempos curvos y aún no he encontrado una justificación para ello.

PREGUNTA: ¿Existe una prueba matemática rigurosa de que $ds^2=0$ a lo largo de la trayectoria de un rayo de luz, en cualquier espacio-tiempo, en cualquier marco de referencia, o se trata de un hecho axiomático?

Nota: Supongo que esto se puede probar matemáticamente de alguna manera y estaría muy interesado en saber cuál es la prueba/lógica detrás de esto. Además, el único espacio-tiempo curvo con el que estoy suficientemente familiarizado es el descrito por la métrica de Schwarzschild.

usuario12262

EdRich: " intervalo de espacio-tiempo de la luz, en cualquier espacio-tiempo " - De la página de Wikipedia Intervalos de espacio-tiempo en el espacio plano y de varias discusiones aquí se me dio a entender que los intervalos de espacio-tiempo

s^{2} : S \times S \to R

$s^2 : \mathcal S \times \mathcal S \rightarrow \mathbb R$ se definen estrictamente sólo para espacio-tiempos planos . (Alguna variante aplicable en los espaciotiempos lorentzianos de curvatura arbitraria sería la " distancia lorentziana ".) En consecuencia, sus preguntas parecen mal planteadas.

EdRich

@ user12262 Creo que tiene razón y realicé una edición para solucionar esto. Me refería al elemento de línea infinitesimal.

d s^{2}

$ds^2$ a lo largo de un rayo de luz y no el intervalo de espacio-tiempo de valor entero del espacio de Minkowski. Gracias por señalar la aclaración necesaria.

usuario12262

EdRich: " Gracias por señalar la aclaración necesaria ". -- De nada. " Hice una edición para arreglar esto ". -- Gracias por haber respondido; +1. Pero tal vez puedas apreciar que no estoy del todo satisfecho: " Me refería al elemento de línea infinitesimal $ds^2$ a lo largo de un rayo de luz "- ¿Qué significa eso? ¿Qué es exactamente lo que podrías querer decir con "

d s^{2}

$ds^2$ "en entornos en los que

s^{2}

$s^2$ no está explícitamente definido? ¿Por qué no está haciendo una pregunta aplicable sobre la distancia lorentziana?

ℓ

$\ell$ ¿¡¿en cambio?!? Pero, ciertamente, mi queja va más allá de su pregunta específica...

EdRich

@user12262 la métrica -

d s^{2}

$ds^2$ describe físicamente la longitud entre dos puntos separados infinitesimalmente en un espacio-tiempo dado, por lo que esa es la "distancia" a la que me refiero. Entonces creo que s es simplemente el intervalo de espacio-tiempo entre 2 puntos en un espacio-tiempo dado y se puede encontrar integrando una métrica dada. Miré el enlace que proporcionó, sin embargo, no estoy seguro de qué es realmente la distancia de Lorentzian o cómo encaja en el contexto en el que estoy haciendo la pregunta. Sin embargo, podría estar equivocado en mis interpretaciones anteriores.

usuario12262

Ed Rich: " $ds^2$ describe físicamente la longitud entre dos puntos separados infinitesimalmente en un espacio-tiempo dado " -- Si de hecho hay dos puntos (eventos) distintos (separados) involucrados, caso por caso, deberíamos explicarlos explícitamente como dos argumentos para esto (generalizado) " longitud "(al cuadrado), y tal vez soltar ese extraño

d

$d$ Al frente. Además: a los experimentadores les gusta saber cómo determinar si dos eventos distintos bajo consideración están " infinitesimalmente separados ", o simplemente "separados". " qué es realmente la distancia de Lorentzian ": consulte google.com/#q=beem+ehrlich+easley+distance

Respuestas (2)

¿Por qué está ds2=0ds2=0ds^2=0 a lo largo de la trayectoria de un rayo de luz en cualquier espacio-tiempo, en cualquier marco de referencia, específicamente no inercial?

EdRich: " intervalo de espacio-tiempo de la luz, en cualquier espacio-tiempo " - De la página de Wikipedia Intervalos de espacio-tiempo en el espacio plano y de varias discusiones aquí se me dio a entender que los intervalos de espacio-tiempo $s^{2} : S \times S \to R$ $s^2 : \mathcal S \times \mathcal S \rightarrow \mathbb R$ se definen estrictamente sólo para espacio-tiempos planos . (Alguna variante aplicable en los espaciotiempos lorentzianos de curvatura arbitraria sería la " distancia lorentziana ".) En consecuencia, sus preguntas parecen mal planteadas.
@ user12262 Creo que tiene razón y realicé una edición para solucionar esto. Me refería al elemento de línea infinitesimal. $ds^2$ a lo largo de un rayo de luz y no el intervalo de espacio-tiempo de valor entero del espacio de Minkowski. Gracias por señalar la aclaración necesaria.
EdRich: " Gracias por señalar la aclaración necesaria ". -- De nada. " Hice una edición para arreglar esto ". -- Gracias por haber respondido; +1. Pero tal vez puedas apreciar que no estoy del todo satisfecho: " Me refería al elemento de línea infinitesimal $ds^2$ a lo largo de un rayo de luz "- ¿Qué significa eso? ¿Qué es exactamente lo que podrías querer decir con " $ds^2$ "en entornos en los que $s^2$ no está explícitamente definido? ¿Por qué no está haciendo una pregunta aplicable sobre la distancia lorentziana? $\ell$ ¿¡¿en cambio?!? Pero, ciertamente, mi queja va más allá de su pregunta específica...
@user12262 la métrica - $ds^2$ describe físicamente la longitud entre dos puntos separados infinitesimalmente en un espacio-tiempo dado, por lo que esa es la "distancia" a la que me refiero. Entonces creo que s es simplemente el intervalo de espacio-tiempo entre 2 puntos en un espacio-tiempo dado y se puede encontrar integrando una métrica dada. Miré el enlace que proporcionó, sin embargo, no estoy seguro de qué es realmente la distancia de Lorentzian o cómo encaja en el contexto en el que estoy haciendo la pregunta. Sin embargo, podría estar equivocado en mis interpretaciones anteriores.
Ed Rich: " $ds^2$ describe físicamente la longitud entre dos puntos separados infinitesimalmente en un espacio-tiempo dado " -- Si de hecho hay dos puntos (eventos) distintos (separados) involucrados, caso por caso, deberíamos explicarlos explícitamente como dos argumentos para esto (generalizado) " longitud "(al cuadrado), y tal vez soltar ese extraño $d$ Al frente. Además: a los experimentadores les gusta saber cómo determinar si dos eventos distintos bajo consideración están " infinitesimalmente separados ", o simplemente "separados". " qué es realmente la distancia de Lorentzian ": consulte google.com/#q=beem+ehrlich+easley+distance

jerry schirmer · Answer 1

Entonces, en general, una transformación de coordenadas implica dar a cada coordenada $x$ en función de las nuevas coordenadas $x^{\prime}$ :

X^{' m} = F^{m} (X^{v})

$x^{\prime\mu} = f^{\mu}(x^{\nu})$

Esto da una relación general:

d s^{2} = {gramo}_{m v} d X^{m} d X^{v} = {gramo}_{m v} (\frac{d X^{m}}{d X^{' α}} d X^{' α}) (\frac{d X^{v}}{d X^{' β}} d X^{' β}) = {gramo}_{α β}^{'} d X^{' α} d X^{' β}

$ds^{2} = g_{\mu\nu}dx^{\mu}dx^{\nu} = g_{\mu \nu}\left(\frac{dx^{\mu}}{dx^{\prime\alpha}}dx^{\prime \alpha}\right)\left(\frac{dx^{\nu}}{dx^{\prime\beta}}dx^{\prime \beta}\right) = g_{\alpha \beta}^{\prime}dx^{\prime \alpha} dx^{\prime \beta}$

Donde podemos transformar el antiguo producto interno definido por $g$ en un nuevo producto interno definido por $g^{\prime}$ . Así que si $ds^{2}=0$ en nuestro antiguo marco de referencia, entonces es necesariamente cero en nuestro nuevo marco de referencia. Puede argumentar que el formalismo está cocinado para que esto sea cierto, y tendría razón, pero eso es lo que describen las matemáticas subyacentes de la relatividad general y especial.

Entiendo la invariancia de la ecuación métrica y entiendo la lógica detrás de su argumento al responder mi pregunta inicial. Pero dado lo que ha dicho, supongo que mi pregunta ahora es, dado que el intervalo de espacio-tiempo para la luz siempre es cero en un marco inercial en el espacio de Minkowski, ¿podemos encontrar siempre funciones de coordenadas entre el espacio de Minkowski y cualquier espacio curvo, concluyendo así el intervalo? siempre debe ser cero en cualquier espacio-tiempo curvo también?
@EdRich: No. Puede calcular tensores a partir de la métrica que son independientes de las coordenadas pero que son distintos de cero en espacios curvos, pero cero en espacios no curvos. No existe una transformación de coordenadas que mapee globalmente la métrica de Schwarzschild a la de Minkowski.
Entonces, para un ejemplo realmente flagrante, $R_{abcd}R^{abcd}$ es distinto de cero para cada espaciotiempo curvo que se me ocurra, pero será cero para cualquier transformación de coordenadas del espaciotiempo de Minkowski.
Entonces, si estoy siguiendo lo que dices, entonces, porque $ds^2=0$ a lo largo de la trayectoria del rayo de luz en el espacio-tiempo de Minkowski, entonces este debe ser el caso para cualquier espacio-tiempo ya que, como ha dicho, la ecuación métrica es invariante. ¿Es así de simple?
Comprendido. Aparentemente no estaba tomando el significado de invariante lo suficientemente literalmente en el sentido de que $ds^2$ se mantiene en cualquier sistema de coordenadas arbitrario independientemente de si describe un espacio-tiempo plano o curvo. me habia convencido a mi mismo por error $ds^2$ solo era invariante con respecto a 2 marcos de referencia en el mismo espacio-tiempo y era más complicado en el caso de un espacio-tiempo plano en relación con un espacio-tiempo curvo. Muchas gracias por la ayuda para aclarar eso.
@EdRich. No quiero complicar esto, pero en tu último comentario creo que está mal expresado. De hecho, es cierto (creo que al contrario de lo que dice) que solo en el mismo espacio-tiempo ds es invariante con respecto a las transformaciones de coordenadas. Un espaciotiempo diferente tendrá una forma diferente para ds, y si de alguna manera usa las mismas coordenadas que en el primer espaciotiempo, obtendrá un valor diferente de ds. Y sí, ds es invariable para espaciotiempos curvos o planos (pero si pasas de curvo a plano, algo cambia).
@EdRich. Por cierto, otro argumento es que ds es 0 para la luz en las coordenadas inerciales locales de tipo relativista especial, y dado que es invariable, será 0 para otras coordenadas en el mismo punto físico (o vecindad), incluso para espaciotiempos curvos. En cualquier punto, puede elegir que el marco inercial local tenga la métrica g = Minkowski, y sus derivados en ese punto = 0
@BobBee entiendo lo que estás diciendo con mi concepto erróneo y que inicialmente también lo entendí. Quizás la lógica implícita detrás de la respuesta fue mal utilizada. También entiendo su segundo comentario y he visto ese argumento derivado rigurosamente en algunos libros de texto. Le agradezco su contribución preocupada.

Javier · Answer 2

Si desea una prueba realmente rigurosa, entonces la respuesta es que, de hecho, no es cierto que los rayos de luz tengan $ds^2 = 0$ , porque en un espacio-tiempo curvo no existe una noción general de rayo de luz.

Lo que tendrías que hacer es resolver las ecuaciones de Maxwell en un fondo curvo; suponiendo que la escala de longitud típica del campo (por lo tanto, la longitud de onda) es mucho más pequeña que la escala de longitud de la curvatura del espacio-tiempo, obtiene algo así como la ecuación de onda, y puede pretender que su onda es un rayo de luz. Si haces esto, resulta que la onda de cuatro vectores $k^\mu$ de esta onda/rayo debe ser nulo ( $k_\mu k^\mu = 0$ ), que es lo mismo que decir que $ds^2 = 0$ a lo largo del rayo. Para obtener una idea de las sutilezas de esto, consulte, por ejemplo, esta publicación .

Sin embargo, hay otra manera de llegar a esto si estás dispuesto a aceptar que en la relatividad especial existe un rayo de luz. El argumento se basa en el hecho de que toda variedad es localmente plana; en palabras de física, en un espacio-tiempo curvo puedes elegir coordenadas cerca de un punto para que la métrica sea la de SR de primer orden, y sea exactamente la métrica de Minkowiski en el punto elegido. Simplemente dices que en estas coordenadas particulares $ds^2 = 0$ , y desde $ds^2$ es un escalar, será cero sin importar el sistema de coordenadas.

Hay una distinción conceptual que se puede hacer aquí, que es la de la velocidad de la luz frente a la velocidad de la causalidad. Esta última es la velocidad máxima a la que pueden viajar las cosas, y casi por definición, las rutas de velocidad máxima son aquellas con $ds^2=0$ ; esto se debe a que la estructura misma de la relatividad impone este límite de velocidad. Da la casualidad de que la luz viaja a esta velocidad máxima (los físicos de partículas mencionarán la falta de masa del fotón en este punto), pero no hay una razón fundamental por la que deba hacerlo .

Tiene geodésicas nulas en un espacio-tiempo curvo, que es tanto una noción de "rayo de luz" como cualquier otra cosa, al menos en el límite geométrico.
@Jerry: eso es a lo que traté de llegar en mi último párrafo, aunque tal vez no salió bien. El punto es que si quieres ser realmente riguroso tienes que demostrar que los rayos de luz viajan en geodésicas nulas.
@Javier, eso tiene más sentido para mí en la forma en que uno tendría que mostrar eso, pero parece terriblemente difícil. Además, como mencioné en otro comentario, busqué la planitud local aproximada de primer orden de los espaciostiempos curvos, lo que creo que me sirve como justificación suficiente. También me gusta la idea detrás de tu comentario final. Lo tendré en mente.

¿Por qué está ds2=0ds2=0ds^2=0 a lo largo de la trayectoria de un rayo de luz en cualquier espacio-tiempo, en cualquier marco de referencia, específicamente no inercial?

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