Tensor métrico: ¿Por qué relacionarlo con coordenadas cartesianas/minkowski?

¿Por qué el tensor métrico siempre se relaciona con coordenadas cartesianas?

Tomemos el caso simple del tensor métrico en el espacio 3D sin una dimensión de tiempo,

gramo i j = [ 1 0 0 0 r 2 0 0 0 r 2 pecado 2 ⁡ ( θ ) ]

aquí el pecado 2 ⁡ ( θ ) proviene del hecho de que originalmente derivamos las distancias en coordenadas cartesianas como d s = d X 2 + d y 2 + d z 2 y luego conocer la transformación entre cartesiano y polar. Así que la forma exacta de gramo i j en función de sus coordenadas de destino, siempre se deriva de las coordenadas originales, que son las cartesianas.

Pero, ¿por qué no describimos el tensor métrico en función de algunas otras coordenadas originales, como hiperbólicas y luego las transformamos en esféricas (aparte del hecho de que sería un asunto feo)?

Entonces, las coordenadas cartesianas parecen especiales de alguna manera, mi primera idea fue que tal vez porque son un marco de referencia inercial, proporcionarían una base natural para GR. Pero este no puede ser el caso, ya que la geometría diferencial proviene de las matemáticas puras, a las que no les importan las declaraciones inerciales/no inerciales.

Entonces, ¿qué está pasando? ¿Es el hecho de que simplemente 'descubrimos' primero las matemáticas en el espacio euclidiano y luego aprendimos cómo relacionar diferentes sistemas de coordenadas con el euclidiano?

La misma pregunta se extiende naturalmente a la relatividad y las coordenadas de minkowski.

Las coordenadas se eligen en función de la simetría del problema. Explotar la simetría simplifica el cálculo. Si el problema no tiene simetría esférica, digamos que tiene la simetría de un disco plano, entonces no debe usar coordenadas esféricas, en su lugar, querrá usar coordenadas polares. Y las coordenadas esféricas no son coordenadas cartesianas, pero puede volver a transformarse en coordenadas cartesianas desde coordenadas esféricas o polares en cualquier momento.
No necesita comenzar con coordenadas cartesianas, puede obtener los componentes métricos esféricos directamente de la geometría euclidiana.
@ jacob1729: Sí, ese es el punto de mi pregunta: ¿Por qué siempre usamos la geometría euclidiana como base? La forma funcional de gramo i j en cualquier literatura se deriva de su derivación euclidiana. Esto hace que el sistema euclidiano sea especial, y pregunto por qué es especial.
Nota s = d X 2 + d y 2 + d z 2 es incorrecto - debería decir d s = d X 2 + d y 2 + d z 2 para coordenadas cartesianas. Su tensor métrico sería gramo i j = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] El tensor métrico en su publicación es para coordenadas esféricas. Debería poder anotar la longitud del arco: d s para coordenadas esféricas por inspección utilizando el tensor métrico.
El 3 El sistema euclidiano dimensional es especial porque es el espacio en el que vives, y es donde se interpretan las medidas físicas.
@CinaedSimson: Eso no es cierto. es una representación de R 3 y por lo tanto arbitrario. No debería ser especial, excepto en los casos semi-filosóficos como se discute en la Q.
@AtmosphericPrisonEscape: la forma funcional de gij en cualquier literatura se deriva de su derivación euclidiana. No creo que esto sea cierto. Parece que te convenciste de algo que no es cierto y luego te convenciste de que no tiene sentido.
La física es independiente de la representación. R 3 es una representación de 3 espacio euclidiano dimensional. Si quieres hablar de historia, matemáticas o filosofía, entonces estás fuera de tema. Y sí, los humanos somos pragmáticos.
@BenCrowell: Posiblemente cierto. Al menos entonces mi proceso de pensamiento que condujo a conclusiones absurdas insinuaría que mis axiomas están equivocados. ¡Ciencia!
@AtmosphericPrisonEscape pero ser 'Euclidiano' no tiene nada que ver con las coordenadas cartesianas. Es simplemente la única variedad de Riemann que es globalmente plana y topológicamente igual a R 3 .

Respuestas (2)

A menos que haya entendido mal su pregunta y ejemplo...

Aquí están mis 2 centavos.

En su ejemplo, está utilizando coordenadas esféricas para expresar la ubicación de puntos en un espacio euclidiano. La distancia entre puntos no cambia y la topología del conjunto de puntos subyacente no cambia. Según una interpretación, puede usar Hipérbolas que se cruzan, etc. para crear coordenadas hiperbólicas.

Pero creo que te estarás preguntando, ¿por qué suponer que el espacio tiene una estructura subyacente (global si no local) de E3? Estoy de acuerdo, ¿por qué? La respuesta sería la experiencia. Esa geometría describe nuestro espacio tridimensional en el que observamos las cosas. Al menos funcionó lo suficientemente bien hasta que llegó Einstein. Ahora sabemos que la invariancia de Lorentz gobierna los intervalos de espacio-tiempo. Todavía necesitamos describir la isometría en 3D, ya que es parte de muchas teorías físicas. Tenga en cuenta que toda la geometría diferencial surgió de una abstracción o generalización de la geometría euclidiana, por lo que era natural decir que la estructura local de la métrica (medida de los segmentos de línea) sería diag(1, 1, 1). La estructura local del espacio-tiempo si diag(-1, 1, 1, 1) o diag(1, -1, -1, -1).

Si entendí mal, por favor comente e intentaré explicar más.

Estaba apuntando más a lo siguiente: La forma funcional exacta de gramo i j en las coordenadas utilizadas, siempre se deriva en base a coordenadas cartesianas. ¿Por qué cartesiano? No estoy seguro de que esto lo responda, actualizaré la pregunta en consecuencia.
No estoy seguro de que tu suposición sea cierta. ¿Cómo se basa en cartesiano?
Creo que estoy pensando en esas sesiones de 'prueba por imagen' cuando comienzas como estudiante de primer año y derivas elementos de volumen ee al dibujar volúmenes 3D con sus lados de longitud de arco. d X 1 = r s i norte ( θ ) etc. No estoy seguro de cómo derivaría las longitudes de arco (y, por lo tanto, el tensor métrico ...) en GR sin imágenes y de manera más formal.
Por un lado, esas imágenes están destinadas a ilustrar cómo un arco, área o volumen infinitesimal se expresa en coordenadas curvas que nos dicen cómo encontrar puntos en un espacio plano. Por otro lado, la geometría diferencial asume que los vecindarios locales de cualquier punto parecen "planos". Esto nos permite trasladar todo lo que aprendimos. El único problema potencial es tratar con colectores cerrados que requieren más de un parche para cubrir.
Entonces su respuesta sería esencialmente: "Porque euclidiana vino primero, y construimos todo a partir de ella". Así que me preguntaría acerca de los extraterrestres que primero descubrirían las coordenadas esféricas y luego construirían la geometría euclidiana a partir de eso. Cómo podría gramo i j ¿mirar? ¿Sería simplemente nuestro gramo i j ?
Buen punto. Quién sabe. No creo que tales preguntas realmente puedan ser respondidas. Podríamos especular pero nunca responder realmente.

Creo que es solo por costumbre. No hay, desde mi punto de vista, una razón práctica. Tal vez sea más fácil obtener las ecuaciones de movimiento si considera las coordenadas cartesianas. Pero si observa, las mismas ecuaciones de movimiento se pueden obtener de manera similar en cualquier métrica. Por ejemplo, si considera la siguiente acción integral

S [ ϕ ] = ∫ Ω L ( X , ϕ , ∂ m ϕ ) − gramo   d 4 X ,
entonces, la ecuación de Euler-Lagrange correspondiente es
1 − gramo ∂ m ( − gramo ∂ L ∂ ( ∂ v ϕ ) ) − ∂ L ∂ ϕ = 0.

Por lo tanto, si asume una métrica de Minkowski en coordenadas esféricas,

gramo m v = ( 1 0 0 0 0 − 1 0 0 0 0 − 1 r 0 0 0 0 − 1 r pecado ⁡ θ ) ,
cuyo
gramo = det ( gramo m v ) = − r 2 pecado 2 ⁡ θ ,
la ecuación de movimiento obtenida ya saldrá directamente en coordenadas esféricas, sin necesidad de utilizar otras relaciones de transformación. Nada te impide hacer esto. Sin embargo, tendrás un poco más de trabajo.

Punto justo, pero entonces, ¿cómo sabemos la forma de gramo m v , ¿no se deriva esto finalmente de alguna transformación de base que va de cartesiana a esférica?
La forma de la métrica de minkowski en coordenadas esféricas está fijada por la simetría esférica, el significado de las coordenadas y el hecho de que la curvatura es cero. No necesita coordenadas cartesianas en ninguna parte de la derivación. Intente buscar en Google algo como la métrica más general en coordenadas esféricas y debería poder encontrar cómo se hace.
@AtmosphericPrisonEscape: Bueno, la acción integral se construye en una forma covariante, no es toa. Se hace para que al final la forma de las ecuaciones de campo no cambie, independientemente de la elección particular de las coordenadas. Entonces, primero debe decidir qué escenario desea describir su teoría. Una vez hecho esto, crea su métrica en función de esta elección. Por ejemplo, la métrica se construye mediante la relación gramo m v = mi → m ⋅ mi → v . Entonces, como puede notar, primero debe conocer una relación de transformación entre los vectores base y, a partir de ahí, construir su métrica.
@lucenalex: Gracias por tu comentario. Sí, pero ¿qué relación de transformación sería esa? Siempre se pasa de las coordenadas a a las coordenadas b. b es esférica en este caso, y a suele ser cartesiana.
@AtmosphericPrisonEscape: No sé si entiendo bien tu pregunta. Pero, ¡vamos allá! Diría que cualquier relación de transformación entre las coordenadas de un mismo punto del espacio-tiempo de Minkowski: de cartesiano a esférico, de esférico a cilíndrico, etc. Pero hay algo que hay que aclarar, las transformaciones entre dos puntos distintos de El espacio-tiempo de Minkowski que se debe tener en cuenta son las transformaciones de Lorentz, que es diferente de la transformación en el mismo punto del espacio-tiempo de Minkowski.
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