¿Por qué esta configuración fija una velocidad angular específica?

Obtuviste un valor constante para la velocidad angular porque encontraste el que te da exactamente un ángulo de inclinación igual a$30°$.

Si cambia la velocidad angular, el ángulo de inclinación cambiará. De hecho, llamando al ángulo de inclinación$\theta$, de tus ecuaciones, tienes que el valor de$\theta$en función de la velocidad angular es

Esto tiene sentido porque si la velocidad angular tiende a cero, tenemos que$\theta(0) = \arctan(0) = 0\,\mbox{rad}$, por lo que el brazo está vertical como se esperaba.

Por otro lado, si la velocidad angular tiende a infinito

obtienes la solución también de la ecuación de movimiento en marco giratorio, que es

para el estado estacionario es$~\ddot\vartheta=0$, resolviendo para$~\omega^2~$

por lo tanto, su solución es la solución de estado estacionario de la MOE.

Observaciones:

no se puede obtener una solución analítica para$~\vartheta= \vartheta(\omega)~$(respuesta @Davide Dal Bosco) pero para$\vartheta=\frac \pi2 ~,\cos \left( \vartheta \right) \left( r+l\sin \left( \vartheta \right) \right) =0~,\omega\mapsto\infty~$y para$~\vartheta > \frac \pi2~,\omega~$es imaginario, por lo tanto$~0\le \vartheta\ < \pm\frac \pi2$

tu solución

La parte inclinada de la suspensión de la silla no es una barra rígida sino una cadena o cable. En reposo la cadena es vertical. Esto es cuando la gente se sienta en las sillas. Luego, todo comienza a girar con una velocidad que aumenta lentamente. Mientras esto sucede, la cadena se aleja de la vertical en un ángulo que aumenta lentamente. Entonces, para cada valor de la velocidad angular hay un valor de equilibrio del ángulo. Cuando el movimiento se detiene, el ángulo vuelve a disminuir hasta que la cadena vuelve a estar vertical y puedes dejar la posición sentada. Entonces, el punto central de este viaje es que al principio el asiento está lo suficientemente cerca del suelo para entrar y luego te elevan por encima del suelo mientras tu sensación de arriba y abajo también cambia de dirección. Si tuviera varillas rígidamente unidas, solo tiene un carrusel ordinario. La diferencia es que en este caso las juntas pueden producir una fuerza perpendicular a la varilla, si es necesario. La cadena no puede.

Cuando era niño en Miami, había un columpio como este en un pequeño parque de diversiones administrado por la PBA. El eje central estaba accionado por motor y soportaba varios columpios de asientos alrededor del perímetro. Por una pequeña tarifa, usted (y otros) ocuparían un asiento mientras el motor estaba apagado. Luego se encendió y se le llevó a una velocidad constante en un ángulo razonable. En el mismo parque había un disco (tal vez de 10 pies de diámetro) con asas, montado sobre un eje vertical en el centro. Puede empujar para que gire y luego saltar (un tema frecuente de problemas de física).

Me recuerda otra pregunta de experiencia mental que me hicieron una vez en mi primer año: cuando un niño se balancea en un columpio, ¿cómo cambia su momento angular, si es un sistema cerrado y las fuerzas netas deben ser cero? La respuesta es, por supuesto, que no es un sistema cerrado: el columpio está conectado al suelo y una fuerza neta actúa sobre las bisagras que conectan el columpio al suelo, que se compensa con la tierra.

Si entendí bien, en tu pregunta el punto es que el ángulo es fijo, pero en la vida real sabemos que estos dispositivos pueden acelerar y desacelerar. El cálculo que tenía es para el caso en que no es necesario que actúen fuerzas netas sobre la base del tiovivo en el$y$-dirección. En esa velocidad angular, la tensión en la barra es exactamente compensada por la gravedad. Para velocidades angulares más bajas (digamos cuando la persona acaba de montar el asiento), todo el sistema de varilla+columpio+persona querría ir hacia la tierra, pero la base del sistema suministrará la fuerza necesaria, que se obtiene de la tierra. A velocidades angulares más altas, todo el sistema querría levantarse hacia arriba, pero nuevamente los pernos que fijan la base del sistema al suelo (¡con suerte!) brindarán la fuerza contraria necesaria para mantener a las personas con náuseas pero seguras.

En primer lugar, la pregunta no mencionó de qué eje está hablando, por lo que la elección natural es el polo conectado a tierra. Ahora está claro que el movimiento del sistema COM lf que consta de la niña y el asiento es circular horizontalmente ya que el COM no sube ni baja (se supone que la niña está fija como una estatua) y, por supuesto, el la cosa está girando. Por tanto, la velocidad angular será constante. Ahora el diagrama FBD que hiciste es el de la constante del sistema de la niña y el asiento. Implícitamente asumiste que la silla es sarampión (y eso está justificado ya que tampoco se menciona en la pregunta). Ahora, después de eso, encuentras$T$en términos de variable desconocida$m$, luego igualó la fuerza en la dirección horizontal a la fuerza centrípeta y encontró la velocidad angular. Esta es la velocidad angular de COM del sistema niña + asiento y cualquier línea perpendicular al poste. ¿Por qué? Suponga que una línea pasa por el COM y es perpendicular al polo, ahora imagine líneas similares paralelas a él y ahora imagine que las líneas giran, ¿no está claro que estas líneas tienen la misma velocidad angular?

En este tipo de preguntas en las que la pregunta no se formula claramente, se deben hacer conjeturas inteligentes sobre lo que se está preguntando. Dado que su respuesta es correcta, tenía razón en lo que está adivinando.