¿Cuál es el ángulo en el que la esfera MMM perderá el contacto con la esfera fija OOO?

Hay algo peculiar en esta pregunta.

Calculemos la ecuación de torque sobre el centro de masa de la esfera rodante:

$$\tau = f_sr = I\frac{d\omega}{dt} = mr^2\frac{d\omega}{dt} = mr\frac{dv}{dt}$$ desde $r\omega = v$según el estado de rodadura.

Esto nos muestra que la fuerza de fricción$f_s$nunca será cero mientras la esfera rodante ruede perfectamente sobre la superficie de la esfera fija.

En otras palabras, siempre que use la condición de rodadura en sus soluciones, no puede equiparar$f_s$¡a cero!

Por lo tanto, esto me parece un problema muy artificial y poco realista.

Esto es lo que cabría esperar en condiciones reales: la reacción normal que ofrece la esfera fija sobre la esfera rodante seguirá reduciéndose a medida que la esfera se mueve más y más abajo y llegará a cero cuando la esfera$cos\theta$componente de la gravedad es igual a la fuerza centrípeta$\frac{mv^2}{R+r}$. Es en este punto que las dos esferas pierden contacto. Mientras que la fuerza de fricción que tiene su valor máximo$\mu N$mucho antes de que la pérdida de contacto disminuyera hasta tal punto que ya no sería capaz de mantener un balanceo puro.

Por supuesto, puede insistir en que todavía haga la pregunta tal como se le da. Así es como puedes hacerlo:

La ecuación del momento de torsión sobre el punto O es (en todo momento mientras las esferas están en contacto):

$$m(R + (1+\beta)r)\frac{dv}{dt} = mg(R+r)sin\theta - fR$$

Aplicando la segunda ley de Newton:

$$m\frac{dv}{dt} = mgsin\theta - f$$

Ahora eliminemos el$f$término:

$$m(R + (1+\beta)r)\frac{dv}{dt} = mgrsin\theta + Rm\frac{dv}{dt}$$

$$m(1+\beta)r\frac{dv}{dt} = mgrsin\theta$$

que finalmente da:

$$(1+\beta)\frac{dv}{dt} = gsin\theta$$

Ahora,

$$\frac{dv}{dt} = \frac{dv}{d\theta}.\frac{d\theta}{dt} = \frac{dv}{d\theta}.\frac{v}{R+r}$$

lo que te da la ecuación diferencial:

$$\frac{(1+\beta)}{R+r}.\frac{vdv}{d\theta} = gsin\theta$$

Integrar para obtener,

$$\frac{(1+\beta)}{R+r}.\frac{v^2}{2} = -gcos\theta + c$$ En $\theta=0$, $v=0$y en el requerido $\theta$, $mgcos\theta = \frac{mv^2} {R+r}$

Resuelva aún más y obtendrá el resultado que puede haber obtenido de las consideraciones de trabajo y energía que:

$$cos\theta = \frac{2}{3+\beta}$$