¿Cómo puedo relacionar el movimiento lineal y angular usando una sola fórmula? [cerrado]

Usar la inercia espacial para relacionar el momento lineal/angular con los cambios en la velocidad lineal/angular

$$\begin{pmatrix} \vec{L}\\ \vec{H}_A \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} m {\bf 1}_{3×3} & -m [\vec{c}\times] \\ m [\vec{c}\times] & I_{cm}-m [\vec{c}\times][\vec{c}\times] \end{bmatrix} \begin{pmatrix} \Delta\vec{v}_A\\ \Delta \vec{\omega} \end{pmatrix}$$

_{ref: Ecuaciones de Newton-Euler wikipedia.}

dónde$\vec{L}$es el momento lineal neto (impulso),$\vec{H}_A$es el momento angular cercano en un punto A .$\Delta \vec{v}_A$es el cambio en la velocidad lineal en el mismo punto y$\Delta{\omega}$el cambio en la velocidad de rotación.

La masa escalar es$m$y$I_{cm}$es el momento de inercia de la masa en el centro de masa. Finalmente$[\vec{c}\times$] es la matriz simétrica oblicua de 3 × 3 que representa el operador vectorial de producto cruzado. Consulte https://physics.stackexchange.com/a/111081/392 . el vector$\vec{c}$es la ubicación del centro de masa aquí en relación con A .

El impulso combinado, así como el movimiento resultante, es un tornillo espacial cuya relación entre las propiedades lineales y angulares se denomina paso. Consulte https://physics.stackexchange.com/a/80552/392 para obtener más detalles. También mire la tabla a continuación para ver cómo extraer las propiedades del tornillo (posición, dirección y paso) de diferentes tipos de tornillos.

$$\begin{array}{cccc} \mbox{Property} & \mbox{Velocity (Twist)} & \mbox{Momentum (Wrench)} & \mbox{Force (Wrench)}\\ \hline \mbox{Screw} & \hat{v}_{A}=\begin{pmatrix}\vec{v}_{A}\\ \vec{\omega} \end{pmatrix} & \hat{\ell}_{A}=\begin{pmatrix}\vec{L}\\ \vec{H}_{A} \end{pmatrix} & \hat{f}_{A}=\begin{pmatrix}\vec{F}\\ \vec{\tau}_{A} \end{pmatrix}\\ \mbox{Direction} & \vec{e}=\frac{\vec{\omega}}{|\vec{\omega}|} & \vec{e}=\frac{\vec{L}}{|\vec{L}|} & \vec{e}=\frac{\vec{F}}{|\vec{F}|}\\ \mbox{Magnitude} & \omega=|\vec{\omega}| & L=|\vec{L}| & F=|\vec{F}|\\ \mbox{Position} & \vec{r}=\vec{r}_{A}+\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_{A}}{|\vec{\omega}|^{2}} & \vec{r}=\vec{r}_{A}+\frac{\vec{L}\times\vec{H}_{A}}{|\vec{L}|^{2}} & \vec{r}=\vec{r}_{A}+\frac{\vec{F}\times\vec{\tau}_{A}}{|\vec{F}|^{2}}\\ \mbox{Pitch} & h=\frac{\vec{\omega}\cdot\vec{v}_{A}}{|\vec{\omega}|^{2}} & h=\frac{\vec{L}\cdot\vec{H}_{A}}{|\vec{L}|^{2}} & h=\frac{\vec{F}\cdot\vec{\tau}_{A}}{|\vec{F}|^{2}} \end{array}$$

PD. Si proporciona detalles más específicos, puedo proporcionarle un ejemplo de cómo se puede usar lo anterior para obtener lo que desea.

Editar 1

La matriz de inercia espacial inversa es

$$\begin{pmatrix}\Delta\vec{v}_{A}\\ \Delta\vec{\omega} \end{pmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{m}-\vec{c}\times I_{cm}^{-1}\vec{c}\times & \vec{c}\times I_{cm}^{-1}\\ -I_{cm}^{-1}\vec{c}\times & I_{cm}^{-1} \end{bmatrix}\begin{pmatrix}\vec{L}\\ \vec{H}_{A} \end{pmatrix}$$

Esto se usa en la programación de juegos para manejar impulsos (consulte la ecuación 18-8 en http://www.cs.cmu.edu/~baraff/sigcourse/notesd2.pdf )

Editar 2

La energía cinética de un cuerpo rígido con matriz de inercia espacial de 6 × 6$\hat{I}_A$es definido por

$$K=\frac{1}{2} \hat{v}_A^\top \hat{I}_A \hat{v}_A =\frac{1}{2} \hat{\ell}_A^\top \hat{I}_A^{-1} \hat{\ell}$$

dónde$\hat{v}_A = (\vec{v}_A,\vec{\omega})$y$\hat{\ell}_A = (\vec{L},\vec{H}_A)$.

La forma más sencilla de lidiar con su caso es considerar la inercia en el centro de masa y fijar el momento angular como$\vec{H}_C = -\vec{c}\times \vec{L}$produciendo el tornillo de impulso espacial$\hat{\ell}_C = (\vec{L}, -\vec{c} \times \vec{L})$con el impulso$\vec{L} = \int \vec{F}\,{\rm d}t$. La inercia espacial inversa en el centro de masa es una matriz de 6 × 6 en diagonal de bloque$\hat{I}_C^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{m} & \\ & I_C^{-1} \end{bmatrix}$producir la energía cinética

$$K = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}\vec{L}\\ -\vec{c}\times\vec{L} \end{pmatrix}^{\top}\begin{bmatrix}\frac{1}{m}\\ & I_{C}^{-1} \end{bmatrix}\begin{pmatrix}\vec{L}\\ -\vec{c}\times\vec{L} \end{pmatrix}$$

Lo anterior se puede expandir usando identidades vectoriales en

$$\boxed{ K=\frac{1}{2}\vec{L}^{\top}\left(\frac{1}{m}{\bf 1}_{3×3}-[\vec{c}\times] I_{C}^{-1}[\vec{c}\times]\right)\vec{L} }$$

La parte dentro del paréntesis es la masa efectiva inversa del cuerpo rígido sobre el punto A. La primera parte se debe al momento lineal y la segunda parte al momento angular (compensación de fuerza). una vara de longitud$s=10 \rm m$tiene momento de inercia de masa$I_{cm} = {\rm diag}(\frac{1}{12}m s^2, \frac{1}{12}m s^2, 0)$y punto de aplicación ubicado en$a=2.5 \rm m$a la derecha del centro de masa (con$\vec{c}=(-a,0,0)$).

Si la fuerza aplicada es a lo largo de la vertical entonces$\vec{L} =(0,\int F{\rm d}t,0)$y la energía cinética es

$$K = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{m} + \frac{12 a^2}{m s^2} \right) L^2$$ dónde $L=\int F{\rm d}t$es la magnitud del impulso.

editar 3

Por supuesto, puede llegar directamente a lo anterior evaluando la inercia espacial inversa

$$\hat{I}_{A}^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{1}{m} & 0 & \ldots & 0\\ 0 & \frac{1}{m}+\frac{12a^{2}}{ms^{2}} & & \frac{12a}{ms^{2}}\\ \vdots & & \ddots\\ 0 & \frac{12a}{ms^{2}} & & \frac{12}{ms^{2}} \end{bmatrix}$$ y mirando el elemento [2,2] (a lo largo del eje y de traslación ).

Dado un impulso$\vec{L} = (0,J,0)$el movimiento resultante en el punto de fuerza A es

$$\begin{pmatrix} \Delta v_x \\ \Delta v_y \\ \Delta \omega \end{pmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{m} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{m}+\frac{12 a^2}{m s^2} & \frac{12 a}{m s^2} \\ 0 & \frac{12 a}{m s^2} & \frac{12}{m s^2} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ J \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ \left(\frac{1}{m}+\frac{12 a^2}{m s^2}\right) J\\ \frac{12 a}{m s^2} J \end{pmatrix}$$

Editar 4

El centro de rotación del cuerpo rígido (que le da una idea de cuánto gira frente a cuánto se traslada) se encuentra mediante (posición del eje del tornillo)

$$\vec{r}_{rot} = \vec{r}_A + \dfrac{\Delta \vec{\omega} \times \Delta \vec{v}}{|\Delta \vec{\omega}|^2} =\begin{pmatrix}a\\0\\0\end{pmatrix} + \frac{(0,0,\frac{12 a}{m s^2}J) \times (0, (\frac{1}{m}+\frac{12 a^2}{m s^2})J,0)}{(\frac{12 a}{m s^2}J)^2} =\begin{pmatrix} -\frac{s^2}{12 a} \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Como puede ver, la cantidad de fuerza (o impulso) no es importante ya que la geometría del problema está definida por la línea de acción de la fuerza y ​​las propiedades de inercia del cuerpo rígido. En este caso el centro de rotación está en$r=\frac{10}{3}\,{\rm m}$a la izquierda del centro de masa. La relación entre la velocidad lineal del punto A y la velocidad lineal del centro de masa es

$$\frac{v_A}{v_{cm}} = \dfrac{(a+r)\Delta \omega}{r \Delta \omega} = \dfrac{a+\frac{s^2}{12 a}}{\frac{s^2}{12 a}} = \frac{7}{4}$$

Voy a aclarar una vez más. Supongamos que tengo una varilla de 10 m (se conoce el momento de inercia) y le aplico una fuerza de 5 N, a 2,5 m del eje de rotación durante un segundo. Tanto la velocidad lineal como la angular se pueden encontrar reemplazando 5N en F⃗ = ma⃗ y τ⃗ = Iα⃗, ¿verdad? Sin embargo, me parece un poco contrario a la intuición. ¿No se distribuiría la fuerza en alguna proporción sobre el movimiento lineal y angular?

La pregunta se ha cambiado radicalmente varias veces (en consecuencia , Steeven tuvo que eliminar su respuesta y otra respuesta se ha vuelto obsoleta e incomprensible). Este hecho deplorable hace casi imposible dar una respuesta adecuada. Otra anomalía evidente es que OP ha aceptado esta respuesta por segunda o tercera vez , y no la ha rechazado (todavía) aunque está siendo fuertemente rechazada y, por último, no puedo eliminar mi propia respuesta ya que es es el aceptado.

Intentaré abordar el tema desde un punto de vista general para abarcar todos los posibles cambios futuros: consideraré una vara de$l=1m$(10 cm sería aún mejor) ya que no es realista que uno pueda empujar una barra de 10 m y$I = 1/12$. De todos modos, las cifras no son relevantes, ya que OP no busca una solución a un problema específico, sino que solicita una regla/principio/fórmula general y las proporciones son siempre las mismas.

• 1) Si la varilla estuviera fijada sobre un pivote, la masa puntual efectiva de la varilla en la punta (50 cm) sería 1/3 y a 0,25 cm del CM sería$m° =4/3 Kg$

• 2) Si la varilla está libre y puede trasladarse, la masa puntual en la punta es 1/4 y a 0,25 cm es$m°= 4/7 Kg$. **

• 3) si la barra está libre y conocemos el impulso, es bastante fácil determinar la relación entre la velocidad lineal y angular .

• 4) si la barra está libre y (como lo solicita OP) aplica una fuerza de K (= 5) N a 0.25 cm, la masa efectiva de la barra de ese punto, por supuesto, todavía se conoce pero se vuelve complejo (o imposible ) para determinar. Además de eso, también debes distinguir si:
• a) la fuerza se aplica en una dirección (y este es, por defecto, el caso aquí)
• b) si la fuerza gira con el cuerpo

En cualquiera de los dos casos hay muchas complicaciones porque:

a) si la fuerza actúa en una dirección, la componente normal disminuye gradualmente hasta cero (y también existe la posibilidad de que no se ejerza durante 1 segundo)

b) si la fuerza gira con el cuerpo, el CM no será empujado solo hacia adelante sino que se trasladará en muchas direcciones.

La otra respuesta está siendo votada a favor , aunque no aborda ninguno de estos problemas , no aborda la pregunta y no ha producido la fórmula única general solicitada por la pregunta. Esta es, probablemente, otra anomalía : probablemente, uno debe publicar y ser votado solo cuando ya ha encontrado una respuesta.

** Te di la fórmula para la velocidad lineal ( masa puntual )$v$:$\frac{I}{I+md^2}$y la relación velocidad lineal/rotacional$v/v°$:$\frac{I}{md^2}$entonces, la relación velocidad lineal/angular$v/\omega$es:$v/\omega = \frac{I}{md}$. Esto, como dije, es válido solo para impulso/fuerza direccional. Debe especificar qué quiso decir con su pregunta.

La pregunta es bastante general, pero déjame intentar dar algunas respuestas.

¿Cómo determino las velocidades de traslación y rotación resultantes?

Para la velocidad de traslación, utilice la segunda ley de Newton:

$$\vec F= m \vec a$$

Para la velocidad de rotación (angular), use:

$$\vec \tau=I\vec \alpha$$

Para encontrar el momento de inercia $I$necesitas conocer la geometría del objeto. para par $\vec \tau$usa la definición$\tau=Fr$, dónde$r$es la distancia al centro de rotación (y$F$debe ser la componente perpendicular).

Cuando hayas hecho esto, usa la aceleración $\vec a$y aceleración angular $\vec \alpha$, respectivamente, para encontrar la velocidad $\vec v$y velocidad angular $\vec \omega$.

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También estoy buscando ecuaciones que conecten la energía cinética de traslación con la energía cinética de rotación en el contexto de la aplicación de par.

Bueno, esas son dos porciones diferentes de energía (y no sé a qué te refieres con in the context of applying torque). El objeto como un todo contendrá la energía total (la suma):

$$K_{trans}+K_{rot}=½mv^2+½I\omega^2$$

Para detener un objeto de este tipo, necesitarías absorber tanto la energía cinética de traslación como la de rotación. Puedes considerar esas dos porciones por separado.

Si quieres equations connectingestas dos energías, debe ser porque conviertes una en la otra o haces algún otro proceso que las involucre a ambas. Esto depende de lo que hagas.