Derivación de la ley de inercia a partir del método de Lagrangian (Landau)

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Derivación de la ley de inercia a partir del método de Lagrangian (Landau)

aloizio macedo

Estoy leyendo el Libro de Landau.

Intenta concluir la ley de la inercia a partir de las ecuaciones de Lagrange.

Por eso, argumenta (mediante buenas suposiciones sobre el espacio y el tiempo), que el lagrangiano debe depender solo de la velocidad. Más específicamente, solo en el cuadrado de la velocidad.

El punto es que, dado que las ecuaciones de Lagrange son:

\nabla_{X} L + (\nabla_{\dot{X}} L)^{'} \equiv 0

$\nabla_x L+(\nabla_{\dot{x}}L)' \equiv 0$

él entiende eso $(\nabla_{\dot{x}}L)'\equiv 0$ , lo que implica $\nabla_{\dot{x}}L=constant$ (en el tiempo, a lo largo de la trayectoria).

Ahora aquí está mi problema: concluye que $\dot{x}$ es constante ¿Cómo? el no sabe nada de $L$ , además de las propiedades de "simetría". Por ejemplo, $L\equiv 0$ cumple con todas las propiedades requeridas de tal $L$ , y no podríamos inferir que $\dot{x}$ es constante De hecho, cualquier curva sería extrema con respecto a la acción.

¿Cuál es su razonamiento, entonces?

Respuestas (2)

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usuario12029 · Answer 1

Estás en lo correcto.

Para encontrar las ecuaciones de movimiento, tenemos:

\begin{aligned} C_{i} & = \frac{\partial L (v^{2})}{\partial v_{i}} \\ = L^{'} (v^{2}) 2 v_{i} \end{aligned}

$\begin{align*}c_i&=\frac{\partial L(v^2)}{\partial v_i}\\ &=L'(v^2) 2 v_i \end{align*}$

de modo que $L'(v^2) v_i$ es constante para todo el tiempo.

En primer lugar, podrías imaginar un mundo en el que todos los caminos ${\bf x}(t)$ son caminos mecánicos válidos. Entonces, la transformada galileana de un camino mecánico válido también es un camino mecánico válido y, por lo tanto, respeta la relatividad galileana. (Trivialmente, porque todas las rutas son válidas) Esto es lo que sucede cuando $L'=0$ idénticamente

Otro caso degenerado es, por ejemplo, $L(y)=\sin(y)$ . Entonces sí $v^2=\frac{pi}{2}$ , $L'(v^2)=0$ y se permite que el camino cambie de dirección a voluntad.

Otro caso degenerado es cuando $L(v^2)=\sqrt{v^2}$ . Entonces $\frac{\partial L}{\partial v_i}=\frac{v_i}{\sqrt{v^2}}$ y, por ejemplo, el movimiento unidimensional $x(t)=t^2$ satisface $\frac{2t}{\sqrt{4 t^2}}$ constante (para $t>0$ ).

Entonces eso plantea la pregunta: ¿qué prueba ese pasaje de Landau? Afortunadamente, aunque no lo he examinado a fondo, la siguiente sección (que prueba que $L\propto v^2$ ) no parece depender de la suposición de que $v={\mathrm{const}}$ para una partícula libre.

Pero también hay otro problema: no determina de forma única el camino. Tenemos una familia de pathes (es decir, todos los que tienen constante $\textbf{v}$ satisfacer el principio). ¿Cómo puedo estar seguro de que ningún otro camino también satisfará?
@AloizioMacedo Lo siento, en realidad estaba pensando en arreglar eso. El objetivo de la mecánica clásica es determinar de manera única las ecuaciones de movimiento. Actualizaré mi publicación.
Lo siento, no entendí. ¿Qué quiere decir con el lagrangiano "determinando únicamente las ecuaciones de movimiento"?
¡Resulta que @AloizioMacedo es una pregunta muy molesta que hiciste! Avíseme si mi edición más reciente "ayuda".
¡Ciertamente ayuda! Gracias por su atención, de verdad : ). Me temo que la siguiente sección depende de la suposición de que $v=\text{const}$ para una partícula libre. Acabo de encontrar esta pregunta: physics.stackexchange.com/questions/23098/… que es similar a la mía (e incluso incluye otras dudas que iba a preguntar). La respuesta parece responderla, pero como no conozco el Teorema de Noether y las otras herramientas involucradas en esa respuesta, me abstendré de este asunto por un tiempo. Acepto tu respuesta, ya que respondiste mi pregunta. Gracias de nuevo.

kyle kanos · Answer 2

Se sigue de $L$ siendo una función $\propto\dot{x}^2$ . Con esto en la mano, te quedan dos opciones:

$\left(\nabla_{\dot{x}}L\right)'\sim\left(\dot{x}\right)'=0$ implica $\dot{x}=\rm const.$
$L=0$ implica $\dot{x}=0=\rm const.$

De cualquier manera, obtienes que la velocidad es constante en el tiempo (para este caso particular de partículas libres).

$L=0$ no implica $\dot{x}=0$ . En realidad, ¡no implica absolutamente nada!
@NeuroFuzzy: Si $L$ es sólo una función de $\dot{x}$ (como afirma el autor), luego diciendo $L$ es cero significa que $\dot{x}$ también es cero (que es constante).
Si $L=0\cdot \dot{x}^2$ , $\dot{x}$ puede ser cualquier cosa y satisfacer $L=0$ , y ese es el problema al que se enfrenta el OP.
@NeuroFuzzy: No veo cómo se puede argumentar racionalmente que $L=0\cdot\dot{x}^2$ es una función de $\dot{x}^2$ (o cualquier cosa) ya que su coeficiente constante es necesariamente cero.
@Kyle Kanos $L=0$ es una función y depende sólo de $\dot{x}$ simplemente por definición: no depende de las otras variables. Incluso si no consideras este caso, podrías definir $L=\sqrt{v^2}$ . Esto depende solo de $v$ y, como expone NeuroFuzzy, da lugar a soluciones con no constantes $v$ .
@Aloizio: Y el $L=\alpha v$ la solución se rechaza con razón, cf this post .

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