¿Hay algo más en el teorema de Noether?

Dentro del marco newtoniano de la mecánica, las leyes de conservación son difíciles de desarrollar y no son obvias a primera vista. La mecánica lagrangiana generaliza el concepto de leyes de conservación explotando las "simetrías". La conexión entre simetrías y leyes de conservación se realiza mediante el teorema de Noether.

Un objeto tiene una simetría si es invariante bajo una transformación. La transformación puede ser discreta o continua, local o global y el objeto puede ser la acción, lagrangiana, ecuaciones de movimiento o incluso las propias coordenadas.

La relación entre las simetrías y las leyes de conservación en el teorema de Noether se cumple solo para simetrías continuas, sin embargo, abarca transformaciones tanto globales como locales a través del primer y segundo teorema de Noether.

El beneficio de este resultado es que podemos detectar rápidamente las simetrías y, por lo tanto, se garantiza una ley de conservación. Las leyes de conservación son útiles para reducir la complejidad de un problema a través de procedimientos de reducción.

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Creo que la parte principal de tu pregunta es la siguiente:

¿Hay alguna información adicional aprendida sobre el sistema al emplear el teorema de Noether en lugar de usar el marco newtoniano?

La ley de conservación en sí misma no contendrá información adicional. Decir que un objeto se conserva en el tiempo es simplemente observar la desaparición de su derivada temporal. Sin embargo, el teorema de Noether, de hecho, nos permite obtener información adicional sobre nuestro sistema.

Como ejemplo

Considere un sistema hamiltoniano$(M,\omega ,H)$dónde$M$es una variedad simpléctica,$\omega$es una forma simpléctica de 2 y$H$es una función hamiltoniana. Una simetría continua del sistema hamiltoniano es un campo vectorial$X$en$M$tal que la derivada de Lie (denotada$\mathcal L_X$) de$\omega$y$H$desaparece,

$$\begin{equation} \mathcal L _X\omega=\mathcal L_XH=0 \end{equation}$$ Por el lema de Poincar\'e si $\iota _X\omega$es cerrado entonces localmente una función escalar $F:M\mapsto \mathbb R$se puede encontrar, lo que significa $\iota _X\omega =dF$, (dónde $\iota _X$es el producto interior), es decir, si $X$es simpléctico entonces en el vecindario es hamiltoniano y por lo tanto $X_F(H)=\{H,F\}=0$significado $F$está en involución indicando que es constante a lo largo de las curvas integrales de $X_H$, una cantidad conservada.

Con la mecánica analítica viene una abstracción. La física newtoniana nunca podría decirme realmente acerca de las propiedades de$\omega$o el teorema de Liouville, etc. Entonces, desde ese ángulo, sí, el teorema de Noether nos da mucha más información sobre la física del sistema que simplemente establecer una ley de conservación.

Sin embargo, al mismo tiempo, la física es la física, no importa cómo elijas describir un sistema, todos los resultados deben unirse y, por supuesto, no debemos esperar una nueva física al reformular el problema. En cambio, estamos agradecidos de poder aprender más.

Espero haberte ayudado y haber entendido bien tu pregunta.

A partir de la definición de la mecánica lagrangiana, el teorema de Noether muestra que la conservación del impulso y la energía proviene de la invariancia frente al tiempo y el espacio.

Sí, eso es lo que podemos leer en webs como esta . Pero tenga en cuenta que definimos nuestro tiempo usando el movimiento de la luz, y nuestro espacio también.

¿Es cierto lo contrario? ¿Son las mecánicas lagrangianas completamente equivalentes a las leyes de conservación?

No son completamente equivalentes, se basan en la diferencia de energía cinética y potencial. Y la energía potencial de un péndulo es solo energía cinética oculta. La gravedad convierte la energía cinética interna en energía cinética externa.

¿O el teorema de Noether agrega algo?

Yo diría que agrega algo. Pero nunca he sentido que sea particularmente profundo. Piense en la dispersión de Compton, donde puede convertir parte de la energía del fotón en el movimiento de un electrón. En teoría, podrías hacer otra dispersión Compton en el fotón residual, y otra y otra. En el límite no queda energía de onda de fotones E=hf, se ha convertido completamente en movimiento de electrones. Y sin embargo, y sin embargo: puedes hacer un electrón (y un positrón) a partir de un fotón en producción de pares. Entonces, en cierto modo, un electrón está hecho de movimiento. Creo que eso es profundo. O energía-impulso si lo prefieres.

En caso afirmativo, entonces deduzco que este teorema no proporciona más información sobre por qué son invariantes la masa, el momento y la energía.

Tiendo a estar de acuerdo. Pero tenga en cuenta que la masa invariante no es invariante. Cuando dejas caer un ladrillo, parte de su masa-energía se convierte en energía cinética. Cuando disipas esto, te quedas con un déficit de masa . La energía se conserva. En mi humilde opinión se conserva porque todo está hecho de energía, es fundamental. Es lo único que no podemos crear ni destruir. En cuanto a por qué, no lo sé.

De hecho, en la mecánica lagrangiana, todavía tiene que definir sus variables conjugadas (por lo tanto, el momento) y el propio Lagragiano (por lo tanto, la energía). Esto significa que no puedes deducir estas invariantes de postulados más fundamentales. ¿Estoy en lo correcto?

Diría que no, porque la energía y el impulso no son realmente dos cosas diferentes. Son dos aspectos de la energía-momentum. Imagina una bala de cañón que viaja en el espacio a 1000 m/s con respecto a ti. Podrías decir que tiene energía cinética y podrías decir que tiene cantidad de movimiento. Pero el primero es, en esencia, una medida de la distancia de frenado, mientras que el segundo es una medida del tiempo de frenado. No se puede reducir uno sin reducir el otro. Son dos caras de la misma moneda. Y nuevamente, definimos nuestro tiempo y nuestro espacio utilizando el movimiento de la luz. El movimiento es el rey.

Ahora, pregunta adicional. ¿Hay alguna razón profunda por la que estas invariantes sean todas proporcionales a la masa? ¿Y proporcional a las potencias de la velocidad?

Son proporcionales a la masa porque la masa de un cuerpo es una medida de su contenido de energía . Recuerde la naturaleza ondulatoria de la materia y la producción de pares, y los orbitales atómicos donde los electrones "existen como ondas estacionarias". Eche un vistazo al fotón en la caja del espejo en este documento: http://arxiv.org/abs/1508.06478 (el 't Hooft no es el Nobel 't Hooft). Luego piense en el momento del fotón como la resistencia al cambio de movimiento de una onda que se propaga linealmente en c, y piense en la masa del electrón como la resistencia al cambio de movimiento de una onda que da vueltas y vueltas en c. Y sí, el poder de la velocidad está ahí en E=mc² donde se divide por c para pasar de energía a momento, y por c nuevamente para masa. También está en ½mv² para la bala de cañón, que tiene que ver con la distancia de frenado.. Eso es un poco como un Compton inverso, donde quitas la energía fotónica de un electrón en movimiento.