¿Por qué es esta una buena definición de temperatura?

Una "buena" definición (aunque el término sea vago) debe replicar al menos algunas de nuestras principales intuiciones sobre la noción que se está definiendo.

Una cosa cotidiana muy fundamental que un científico que busca a tientas una noción de temperatura podría estar buscando es que la tasa neta de flujo de calor entre dos cuerpos de la misma temperatura debe ser cero. Cuando un cuerpo caliente está en contacto con uno frío, el primero calentará al segundo hasta que tengan la misma "temperatura", sea lo que sea.

Ahora considere dos cuerpos, con energía$E_1$y$E_2$. Sea el número de microestados compatibles con el estado macroscópico de cada cuerpo$\Omega_1$y$\Omega_2$. El número total de microestados del sistema como un todo compatible con el macroestado del sistema es$\Omega_1\,\Omega_2$. ¿Qué sucede cuando ponemos los cuerpos en contacto entre sí y suponemos que están aislados de otra manera?

En mi respuesta aquí, argumento que es abrumadoramente probable que cualquier sistema termine en un microestado que esté muy cerca del microestado de máxima verosimilitud, solo mediante una caminata aleatoria porque, para conjuntos grandes, el conjunto de microestados contiene estados que se parece mucho al microestado de máxima verosimilitud y casi nada más (hago algunos cálculos simples con la distribución binomial para mostrar esto en mi otra respuesta).

Entonces, concluimos que el calor fluirá entre los cuerpos hasta que el sistema encuentre su microestado de máxima verosimilitud. Suponiendo que todos los microestados sean igualmente probables, este será el microestado que maximice$\Omega_1\,\Omega_2$. En equilibrio,$\Omega_1$y$\Omega_2$son funciones$\Omega(E)$de la energía interna de cada subsistema. Entonces escribimos una ecuación que maximiza$\Omega(E_1)\,\Omega(E_2)$, sujeto a la restricción de que$E_1+E_2=const$(asumiendo que los dos sistemas están aislados).

Obtenemos, por supuesto:

para$j=1,\,2$y$\lambda$nuestro multiplicador de Lagrange. Bueno, esa es nuestra respuesta: el calor dejará de fluir entre los cuerpos cuando y solo cuando:

así que si definimos la temperatura como una función de$\frac{\partial\Omega}{\partial E}$, replicamos la propiedad fundamental de que el calor fluirá entre dos cuerpos de diferente temperatura en contacto entre sí, mientras que no fluye calor entre dos cuerpos de la misma temperatura.

Bien, entonces, ¿qué pasa con la dirección inicial del flujo de calor? Un razonamiento más cuidadoso como el anterior muestra que es el cuerpo con mayor $\frac{\partial\Omega}{\partial E}$que gana calor. Por lo tanto, la temperatura tiene que ser una función monótonamente decreciente de$\frac{\partial\Omega}{\partial E}$.

La elección más sencilla es$T^{-1} \propto \frac{\partial\Omega}{\partial E}$, aunque, solo por el razonamiento anterior, esta elección está lejos de ser única. En última instancia, la definición se refinó después de que creció nuestro conocimiento de la mecánica estadística hasta que nos dimos cuenta de que muchas cosas podrían explicarse asumiendo que el concepto estadístico de entropía es el mismo que la noción termodinámica clásica de Carnot y Clausius, como explico en mi respuesta aquí . Si hacemos esto, entonces de hecho la temperatura tiene que ser el recíproco de$\frac{\partial\Omega}{\partial E}$, si vamos a replicar la definición de temperatura de Carnot en términos de eficiencia ideal del motor térmico. Vea también algunas ideas adicionales sobre la temperatura y su definición en mi respuesta reciente aquí .