¿Cuál es la definición más fundamental de temperatura?

Es la relación diferencial entre energía interna y entropía:

$$\begin{align} dU &= T\,dS + \cdots \\ \frac{\partial S}{\partial U} &= \frac 1T \end{align}$$ A medida que se agrega energía a un sistema, su entropía interna cambia. Recuerde que la entropía (total) es $$S = k \ln\Omega,$$ dónde $\Omega$es el número de estados microscópicos disponibles que tiene el sistema. La segunda ley de la termodinámica es simplemente probabilística: la entropía tiende a aumentar simplemente porque hay más formas de tener un sistema de alta entropía que un sistema de baja entropía. El logaritmo importa aquí. Si duplica la entropía de un sistema (por ejemplo, combinando dos volúmenes de gas similares pero previamente aislados) ha elevado al cuadrado $\Omega$.

Considere dos sistemas con diferentes$U,S,T$que están en contacto entre sí. Uno de ellos tiene pequeños$\partial S/\partial U$: un pequeño cambio en la energía interna provoca un pequeño cambio en la entropía. el otro tiene mas grande$\partial S/\partial U$, por lo que el mismo cambio de energía provoca un mayor cambio de entropía. Debido a que están en contacto entre sí, las fluctuaciones aleatorias transportarán pequeñas cantidades de energía.$dU$de un sistema a otro. Pero debido a las diferencias internas que conducen a diferentes números de estados internos, se vuelve abrumadoramente más probable que la energía fluya desde el sistema con pequeñas cantidades de energía.$\partial S/\partial U$(reduciendo un poco su entropía) y en el sistema con mayor$\partial S/\partial U$(aumentando mucho su entropía). Entonces llamamos al primero "caliente" y al segundo "frío".

Esta definición incluso se extiende al caso en que la entropía disminuye a medida que se agrega energía , en cuyo caso la temperatura absoluta es negativa. También explica por qué esas temperaturas negativas son "más calientes" que las temperaturas positivas ordinarias: en ese caso, agregar energía al sistema de temperatura positiva aumenta su entropía y eliminar energía del sistema de temperatura negativa también aumenta su entropía.

No existe una definición matemáticamente exacta (un número infinito de lugares decimales) de la temperatura. Estadísticamente hablando, la temperatura es un parámetro de la distribución de Boltzmann: si recoge una partícula de gas de un volumen termalizado (¿qué es?), Entonces, a la temperatura$T$, probabilidad de que tenga energía$E$es$e^{-E/kT}$dónde$k$es la constante de Boltzmann. Entonces, en un experimento, puede comenzar a elegir moléculas de gas, medir la energía de cada una, crear un histograma (energía en$x$eje, número de ocurrencias en$y$eje) y ajustarlo con la función$e^{-E/kT}$(donde consideres$T$como parámetro libre). Entonces el$T_{opt}$lo que conduce al ajuste óptimo es la temperatura. Sin embargo, la temperatura no es un número "escrito en el cielo", las partículas de gas obtienen su energía no por ser una distribución objetivamente existente, sino que obtienen su energía en colisiones microscópicas caóticas, que (creemos) deberían corresponder con alta precisión en la salida. a la distribución de Boltzmann. No hay una temperatura "objetiva" y no hay forma de hacerla objetiva. Si adopta el enfoque estadístico entonces, en el experimento que describí, el número$T_{opt}$es, en rigor, el valor más probable de la temperatura. Pero, en realidad, la temperatura "verdadera" puede ser completamente diferente, pero con muy poca probabilidad. En realidad, hay un error estadístico (sigma de la distribución) en el valor más probable. En sistemas con tamaño estándar (un mol de partículas), el error se ubica alrededor de 13$th$decimal. Los lugares más allá no se pueden definir.

EDITAR: De alguna manera olvidé señalar la "generalidad" de mi respuesta. Cualquier cosa que se supone que tiene una temperatura (agujero trasero, vacío visto desde un marco acelerado, ... cualquier cosa, siempre que tenga el color negro) simplemente tiene que tener radiación asociada (cuerpo negro), es decir, gas saliente (termalizado) de partículas fotónicas, donde debería aplicarse la definición que propongo (las energías fotónicas siguen la distribución de Boltzmann).